1315
V三棱锥A－MNF＝V三棱台BEA－CDF－V三棱锥N－CFM－V四棱锥A－BEFM－V三棱锥N－ADF＝－－－2＝1.
326
24．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝2，E是侧棱PA上的中点．
(1)求证：PC∥平面BDE； (2)求四棱锥P-ABCD的体积．
(1)证明：连接AC交BD于点O，连接OE，如图：
因为四边形ABCD是正方形，所以O是AC的中点． 又E是PA的中点，所以PC∥OE. 因为PC?平面BDE，OE?平面BDE， 所以PC∥平面BDE.
(2)【解析】因为PA⊥平面ABCD， 112
所以VP-ABCD＝S正方形ABCD·PA＝×12×2＝，
3332
所以四棱锥P-ABCD的体积为.
325．如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF，其中BC＝
2. 2
(1)证明：DE∥平面BCF；
13
(2)证明：CF⊥平面ABF；
(3)当AD＝2
3时，求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG.
(1)证明：在等边△ABC中，AD＝AE， 在折叠后的图形中，仍有AD＝AE，AB＝AC， 因此ADAB＝AE
AC，从而DE∥BC.
因为DE?平面BCF，BC?平面BCF， 所以DE∥平面BCF.
(2)证明：在折叠前的图形中，因为△ABC为等边三角形，BF＝CF，所以AF⊥BC，则在折叠后的图形中，AF⊥BF，AF⊥CF，又BF＝CF＝12
2，BC＝2
.
所以BC2＝BF2＋CF2，所以BF⊥CF.
又BF∩AF＝F，BF?平面ABF，AF?平面ABF， 所以CF⊥平面ABF.
(3)【解析】由(1)知，平面DEG∥平面BCF， 由(2)知AF⊥BF，AF⊥CF，
又BF∩CF＝F，所以AF⊥平面BCF， 所以AF⊥平面DEG，即GF⊥平面DEG. 在折叠前的图形中，
AB＝1，BF＝CF＝12，AF＝3
2.
由AD＝2AD2
3知AB＝3
，
又DG∥BF，所以DGAGAD2
BF＝AF＝AB＝3，
所以DG＝EG＝23×11
2＝3，
AG＝2333×2＝3，
所以FG＝AF－AG＝31116，故V?1三棱锥F-DEG＝V三棱锥E-DFG＝3×2DG·FG·GE＝6×?3?233?×6＝324.
26．如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC＝30°，AC ⊥BM，且BM交AC于点M，EA⊥平面ABC，CF∥AE，AE＝3，AC＝4，CF＝1.
14
(1)证明：BF⊥EM； (2)求三棱锥B-EFM的体积．
【解析】(1)证明：∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥BM， 又BM⊥AC，AC∩EA＝A，∴BM⊥平面ACFE， ∴BM⊥EM.
①
∵CF∥AE，∴CF⊥平面ABC，∴CF⊥AC， ∴FM＝MC2＋FC2＝2，
又EM＝AE2＋AM2＝32，EF＝42＋22＝25， ∴FM2＋EM2＝EF2，∴EM⊥FM.
②
由①②并结合FM∩BM＝M，得EM⊥平面BMF，∴EM⊥BF. (2)由(1)知EM⊥平面BMF，
111
×2×3?×32＝3. ∴VB-EFM＝VE-BMF＝×S△BMF×EM＝×??33?2
27．如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，AM＝2.
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC； (2)求三棱锥P-MAC的体积．
【解析】(1)证明：由∠PCB＝90° 得PC⊥CB. 又AB⊥PC，AB∩CB＝B，所以PC⊥平面ABC. 又PC?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.
(2)在平面PCBM内，过点M作MN⊥BC交BC于点N，连接AN，则CN＝PM＝1，
15
又PM∥BC，所以四边形PMNC为平行四边形，所以PC∥MN且PC＝MN， 由(1)得PC⊥平面ABC，所以MN⊥平面ABC，
在△ACN中，AN2＝AC2＋CN2－2AC·CNcos 120°＝3，即AN＝3. 又AM＝2，所以在Rt△AMN中，MN＝1，所以PC＝MN＝1.
在平面ABC内，过点A作AH⊥BC交BC的延长线于点H，则AH⊥平面PMC， 因为AC＝CN＝1，∠ACB＝120°，所以∠ANC＝30°. 所以在Rt△AHN中，AH＝132AN＝2，
而S△PMC＝11
2×1×1＝2
，
所以V＝V11133
P-MACA-PMC＝3×S△PMC×AH＝3×2×2＝12
.
29．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝BC＝2a，AC23a，E是PA的中点．
(1)求证：平面BED⊥平面PAC； (2)求点E到平面PBC的距离．
【解析】(1)证明：在平行四边形ABCD中，AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC. ∵PC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴PC⊥BD.
又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC， ∵BD?平面BED， ∴平面BED⊥平面PAC.
(2)设AC交BD于点O，连接OE，如图．
16
＝