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16.找出模12的剩余类环Z12的所有子环,这些子环是否都是理想?为什么? 17.偶数环2Z的主理想(4)含有哪些元?2Z/(4)含有哪些元?2Z/(4)是否为域?为什么？ 四、证明题(本大题共3小题，第18小题6分，第19,20小题各10分，共26分) 18.若F是一个有四个元的域,则F的特征是2.
19.证明:阶为pm的群(p是素数)一定包含一个阶是p的子群.
20.设m,r是取定的正整数,且r|m.用符号a表示Zm中a所在的剩余类［,a］表示Zr中a所在的剩余类,令f:a［a］,证明:
(1)f是Zm到Zr的同态满射. (2)求ker f.
(3)Zm/ker f是怎样的环?
近世代数试题
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.以下关系中，哪个是实数集的元间的等价关系？( A.关系～：a～b?a2+b2=1
B.关系～：a～b?a≤b
C.关系～：a～b?a=2b D.关系～：a～b?a=b 2.设A是区间［0，1］上全体实函数组成的集合，规定：σ( f (x))=(x2+1) f (x),?f (x)∈A, 则σ是A的( ) A.满变换
B.单变换
C.一一变换 D.不是A的变换
3.在有理数集Ｑ上定义代数运算a ?b=(a+b)2，则这个代数运算A.既适合结合律又适合交换律 B.适合结合律但不适合交换律C.不适合结合律但适合交换律 D.既不适合结合律又不适合交换律4.下列集合对所给运算作成群的是( ) A.全体实数对普通数的加法 B.全体实数对普通数的减法C.全体实数对普通数的乘法
D.全体实数对普通数的除法
浙江省2009年10月自考近世代数试卷
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分 www.4juan.com 各类考试历年试题答案免费免注册直接下载 全部WORD文档
??ab???R???a,b?Z??00?????，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是( ) 5.设
A.有单位元的可换环 B.无单位元的可换环 C.无单位元的非可换环
D.有单位元的非可换环
二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设A={a,b,c,d,e}，则A的一一变换共有______个. 7.在4次对称群S4中，(134)2(312)-1=______.
8.在3次对称群S3中，H＝{(1)，(12)}是S3的一个子群，则H (23)＝______． 9.设Z8是模8的剩余类环，则Z8中的零因子是______． 10.剩余类环Z15的可逆元有______个.
11.设Z［x］是整系数多项式环，则Z［x］的主理想(x2)＝______． 12.整环I＝｛所有复数a+b?2(a,b是整数)｝，则I的单位是______．
三、解答题（本大题共小3题，第15小题10分,第16,17小题各12分，共34分）
15.设M是一个非空集合，2M是M的幂集（M的子集的全体称为M的幂集），问2M∪是否构成群？为什么？
16.找出模20的剩余类加群Z20的所有子群，并找出Z20的全部生成元.
R?????a0a,b?Z?????00??x??17.设
????b0?????关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I =???x0??Z??证明：想，问商环R/I由哪些元素组成？
四、证明题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.设G是一个群，?a∈G证明：a与a-1的阶相同.
19.设G=Mn(Q)={有理数域上所有n阶可逆矩阵}，H = {A|A∈G,|A|=1}证明：H是G的不变子群．
近世代数试题
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
浙江省2009年10月自考近世代数试卷
I是R的理
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关于集合的并www.4juan.com 各类考试历年试题答案免费免注册直接下载 全部WORD文档
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设集合A中含有4个元素，那么积集合A×A中含有______个元素．( ) A.4 B.8 C.12
D.16
2.设R是整数集，A=R×R，σ∶(x,y)→(x,-y)，则σ是A的( ) A.满变换
B.单变换
C.一一变换 D.不是A的变换
3.在有理数集Ｑ中的代数运算a?b=b2( )
A.适合结合律但不适合交换律 B.不适合结合律但适合交换律 C.既适合结合律又适合交换律 D.既不适合结合律又不适合交换律 4.在4次对称群S4中，阶为2的元有( ) A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 5.除环的理想有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.剩余类加群Z4有______个生成元.
7.在4次对称群S4中，(123)(1423)-1=______. 8.阶为n的有限循环群同构于______. 9.剩余类环Z11的零因子个数等于______. 10.剩余类环Z13的可逆元有______个.
11.如果G是一个含有16个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于能是______．
12.整环I＝｛所有复数a+b?7(a,b是整数)｝，则I的单位是______.
三、解答题（本大题共3小题，第16小题7分,第17,18小题各12分，共16.假定下表是一个群的乘法表，试填出未列出的元．
浙江省2009年10月自考近世代数试卷
?a∈G，元素31分） a的阶只可7
www.4juan.com 各类考试历年试题答案免费免注册直接下载 全部WORD文档 o e a b c d e e a b e b c d e c d a b d 17.找出模15的剩余类环Z15的所有子环，这些子环是否都是Z15的理想？为什么？18.设Z是整数环，(2)∩(5)、(2,5)是Z的怎样的理想？(2)∪(5)是Z的理想吗？为什么？四、证明题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 19.证明：循环群是交换群.
20.在高斯整环Z［i］={a+bi｜a,b∈Z}中，证明：3是素元． 21.证明：整数加群与偶数加群同构，但整数环与偶数环不同构．
近世代数试题
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
１.设m是一个正整数，?a∈Z,作带余除法：a=mq+r,0≤r C.一一变换 D.既不是满变换也不是单变换2.有理数集Q上的代数运算a?b=b3( ) A.既适合结合律又适合交换律 B.适合结合律但不适合交换律C.不适合结合律但适合交换律 D.既不适合结合律又不适合交换律3.剩余类加群Z8的子群有( ) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 4.在3次对称群S3中可以与(132)交换的所有元素为( ) A.(1)，(132) B.(12)，(13)，(23) C.(1)，(123)，(132) D.S3中的所有元素 5.M(R)=??????a0????2??b0??a,b??R,R为实数域??按矩阵的加法和乘法构成R上的二阶方阵环?A.有单位元的交换环 B.无单位元的非交换环 浙江省2009年10月自考近世代数试卷 f是Z的( ,这个方阵环是) ( ) 8 则 www.4juan.com 各类考试历年试题答案免费免注册直接下载 全部WORD文档 C.无单位元的交换环 D.有单位元的非交换环 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设A={a,b,c,d,e,f}，则A的一一变换共有________个. 7.在非零实数乘法群R*中，阶为2的元有________个. 8.在4次对称群S4中，(132)2(1234)-1=________. 9.模10的剩余类加群Z10有________个生成元. 10.模P（素数）的剩余类环Zp有________个可逆元. 11.模9的剩余类环Z9的零因子为________. 12.设Z［x］是整系数多项式环，则Z［x］的理想(3,x)＝________． 三、解答题（本大题共3小题，第１6小题10分,第17小题14分，第18小题6分,共30分）16.设M是一个非空集合，2M是M的幂集（M的子集的全体称为M的幂集），问2M关于集合的交∩是否构成群？试说明理由. 17.找出模20的剩余类环Z20的所有子环．并说明这些子环是否是Z20的理想，为什么？ 18.Z3={［0］,［1］,［2］}，找出加群Z3的所有自同构，再找出域Z3的所有自同构. 四、证明题（本大题共3小题，第19小题6分,第20小题9分,第21小题10分,共25分） 19.设A=｛平面上所有直线｝，给定关系～：l1～l2?l1∥l2或l1=l2. 证明：关系～是A元间的等价关系. 20.假定G是一个循环群，N是G的一个子群，证明：G/N也是循环群. 21.设R=????0a??a,b?Z?关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I=???0x??x?????0b????????00??Z?， ?证明：I是R的理想，问商环R/I由哪些元素组成？ 浙江省2009年10月自考近世代数试卷 9