工程数学线性代数同济大学第五版课后习题答案 下载本文

1 a1 1 0A 1

a 2 0

1 an

12 解下列矩阵方程

(1) 2 1 5 3 X

4 2 16

解 X

1 2 51

3

4

2 1 6

3 1 2 5

(2) X 2 2 1 1 1 1 1 1 1

0 4 3 1 3 2

1

X 1 1 3 2 4 3 2

2 1 1

1 1 0

1 1

1 1 1 3 1

0

1 3 4 3 2 2 3 3 3

0

2 2 8 2 12 3 5 3

(3) 1 4 2

1 2 X 1 1 0 3 0 1 1

解 1

1

X

1 1 4 2

3 0 1 1 2 1 10

1 2 4 3 1 1 0 12 1 1 0 1 1 2

1 6 1 3 6 0 1 0 12 1 2

1 1

4 0 (4) 1 0 1 0

1 0 0

1 0 0 0 0 1 X 0 0 0 1 1 0

2 4 1 0 3 2 0

1 4 2 1 6 2 0 8

23

解 X

0 1 0 1 0 0 0 0 1

1

1 4 3 1 0 0 2 0 1 0 0 1 1 2 0 0 1 0

1

0 1 0 1 4 3 1 0 0 1 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 1 1 2 0 0 1 0 2 1 0 1 3 4 1 0 2

13 利用逆矩阵解下列线性方程组 x1 2x2 3x3 1 (1) 2x1 2x2 5x3 2

3x1 5x2 x3 3 解 方程组可表示为

1 2 3 x1 1 2 2 5 x2 2 3 5 1 x3 3

x1 1 2 3 1 1 x2 2 2 5 2 0 x3 3 5 1 3 0 x1 1 x2 0 x3 0

1

从而有

x1 x2 x3 2 (2) 2x1 x2 3x3 1

3x1 2x2 5x3 0 解 方程组可表示为

1 1 1 x1 2 1 3 x2 3 2 5 x3

2 1 0

1

x1 x2 x3

1 1 1 2 1 3 3 2 5

2 1 0 5 0 3

故有

x1 5 x2 0 x3 3

14 设 Ak O (k 为正整数) 证明(E A) 1 E A A2 Ak 1

证明 因为 Ak O 所以 E Ak E 又因为

E Ak (E A)(E A A2 Ak 1)

所以 (E A)(E A A2 Ak 1

) E 由定理 2 推论知(E A)可逆 且

(E A) 1 E A A2 Ak 1

证明 一方面 有 E (E A) 1(E A) 另一方面 由 Ak O 有

E (E A) (A A2) A2

Ak 1 (Ak 1 Ak) (E A A2

A k 1)(E A)

故 (E A) 1(E A) (E A A2 Ak 1)(E A) 两端同时右乘(E A) 1 就有

1 (E A) (E A) E A A2

Ak 1

15 设方阵 A 满足 A2 A 2E O 证明 A 及 A 2E 都可逆 求 A 1 及(A 2E) 1

证明 由 A2 A 2E O 得

A2 A 2E 即 A(A E) 2E

或 A 1

2(

A E) E 由定理 2 推论知 A 可逆 且 A1 1 ( A E)

2由 A2 A 2E O 得

A2 A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E) 4E

( A 2E) 1 4

(3E A) E 并

由定理 2 推论知(A 2E)可逆 且 ( A 2E) 1 1 (3E A)

4

证明 由 A2 A 2E O 得 A2 A 2E 两端同时取行列式得

即 故 由

|A2 A| 2 |A||A E| 2 |A| 0

A2 A 2E O A(A E) 2E

所以 A 可逆 而 A 2E A2 |A 2E| |A2| |A|2 0 故 A 2E 也可逆

A 1A(A E) 2A 1E A 1 1 ( A E)

2

又由 A2 A 2E O (A 2E)A 3(A 2E) 4E

(A 2E)(A 3E) 4 E

所以 (A 2E) 1(A 2E)(A 3E) 4(A 2 E) 1

( A 2E) 1 1 (3E A)

4

1 1

16 设 A 为 3 阶矩阵 | A| 求|(2A) 5A*|

2

解 因为 A 1 1 A* 所以

| A|

|(2A)

1

5A*| | 1 A 1 5| A| A 1 | | 1 A 1 5 A 1 |

2 2 2

| 2A 1| ( 2)3|A 1| 8|A| 1 8 2 16

17 设 矩阵 A 可逆 证 明其 伴随阵 A* 也 可逆 且

(A*) 1 (A 1)*

证明 由 A 1 1 A* 得 A* |A|A 1 所以当 A 可逆时 有

| A|

|A*| |A|n|A 1| |A|n 1 0

从而 A*也可逆

因为 A* |A|A 1 所以