1 a1 1 0A 1
a 2 0
1 an
12 解下列矩阵方程
(1) 2 1 5 3 X
4 2 16
解 X
1 2 51
3
4
2 1 6
3 1 2 5
(2) X 2 2 1 1 1 1 1 1 1
0 4 3 1 3 2
1
解
X 1 1 3 2 4 3 2
2 1 1
1 1 0
1 1
1 1 1 3 1
0
1 3 4 3 2 2 3 3 3
0
2 2 8 2 12 3 5 3
(3) 1 4 2
1 2 X 1 1 0 3 0 1 1
解 1
1
X
1 1 4 2
3 0 1 1 2 1 10
1 2 4 3 1 1 0 12 1 1 0 1 1 2
1 6 1 3 6 0 1 0 12 1 2
1 1
4 0 (4) 1 0 1 0
1 0 0
1 0 0 0 0 1 X 0 0 0 1 1 0
2 4 1 0 3 2 0
1 4 2 1 6 2 0 8
23
解 X
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1
1 4 3 1 0 0 2 0 1 0 0 1 1 2 0 0 1 0
1
0 1 0 1 4 3 1 0 0 1 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 1 1 2 0 0 1 0 2 1 0 1 3 4 1 0 2
13 利用逆矩阵解下列线性方程组 x1 2x2 3x3 1 (1) 2x1 2x2 5x3 2
3x1 5x2 x3 3 解 方程组可表示为
1 2 3 x1 1 2 2 5 x2 2 3 5 1 x3 3
故
x1 1 2 3 1 1 x2 2 2 5 2 0 x3 3 5 1 3 0 x1 1 x2 0 x3 0
1
从而有
x1 x2 x3 2 (2) 2x1 x2 3x3 1
3x1 2x2 5x3 0 解 方程组可表示为
1 1 1 x1 2 1 3 x2 3 2 5 x3
2 1 0
1
故
x1 x2 x3
1 1 1 2 1 3 3 2 5
2 1 0 5 0 3
故有
x1 5 x2 0 x3 3
14 设 Ak O (k 为正整数) 证明(E A) 1 E A A2 Ak 1
证明 因为 Ak O 所以 E Ak E 又因为
E Ak (E A)(E A A2 Ak 1)
所以 (E A)(E A A2 Ak 1
) E 由定理 2 推论知(E A)可逆 且
(E A) 1 E A A2 Ak 1
证明 一方面 有 E (E A) 1(E A) 另一方面 由 Ak O 有
E (E A) (A A2) A2
Ak 1 (Ak 1 Ak) (E A A2
A k 1)(E A)
故 (E A) 1(E A) (E A A2 Ak 1)(E A) 两端同时右乘(E A) 1 就有
1 (E A) (E A) E A A2
Ak 1
15 设方阵 A 满足 A2 A 2E O 证明 A 及 A 2E 都可逆 求 A 1 及(A 2E) 1
证明 由 A2 A 2E O 得
A2 A 2E 即 A(A E) 2E
或 A 1
2(
A E) E 由定理 2 推论知 A 可逆 且 A1 1 ( A E)
2由 A2 A 2E O 得
A2 A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E) 4E
或
( A 2E) 1 4
(3E A) E 并
由定理 2 推论知(A 2E)可逆 且 ( A 2E) 1 1 (3E A)
4
证明 由 A2 A 2E O 得 A2 A 2E 两端同时取行列式得
即 故 由
|A2 A| 2 |A||A E| 2 |A| 0
A2 A 2E O A(A E) 2E
所以 A 可逆 而 A 2E A2 |A 2E| |A2| |A|2 0 故 A 2E 也可逆
A 1A(A E) 2A 1E A 1 1 ( A E)
2
又由 A2 A 2E O (A 2E)A 3(A 2E) 4E
(A 2E)(A 3E) 4 E
所以 (A 2E) 1(A 2E)(A 3E) 4(A 2 E) 1
( A 2E) 1 1 (3E A)
4
1 1
16 设 A 为 3 阶矩阵 | A| 求|(2A) 5A*|
2
解 因为 A 1 1 A* 所以
| A|
|(2A)
1
5A*| | 1 A 1 5| A| A 1 | | 1 A 1 5 A 1 |
2 2 2
| 2A 1| ( 2)3|A 1| 8|A| 1 8 2 16
17 设 矩阵 A 可逆 证 明其 伴随阵 A* 也 可逆 且
(A*) 1 (A 1)*
证明 由 A 1 1 A* 得 A* |A|A 1 所以当 A 可逆时 有
| A|
|A*| |A|n|A 1| |A|n 1 0
从而 A*也可逆
因为 A* |A|A 1 所以