D3
5 6 1 0 0 1 5 0 0 0
0 1 0 6 0 703 D4 0 0 0 5 6 0 0 1 1 5 5 6 0 0 1 1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 212 0 0 1 5 0 0 0 0 1 1
5 6 0 1 0 1 5 6 0 0 0 1 5 0 0 0 0 1 0 6 0 0 0 1 5
395
D5
所以
1507 x x 1 2665 1145 665 703 x 3
665
395 x 4
665 212 x4
665
lx1 x2 x3 0
9 问 l m 取何值时 齐次线性方程组 x1 mx2 x3 0 有非零
x1 2mx2 x3 0 解？
解 系数行列式为
l 1 1 D 1 m 1 m ml
1 2m 1 令 D 0 得
m 0 或 l 1
于是 当 m 0 或 l 1 时该齐次线性方程组有非零解
(1 l)x1 2x2 4x3 0
10 问 l 取何值时 齐次线性方程组 2x1 (3 l)x2 x3 0 有
x1 x2 (1 l)x3 0 非零解？
解 系数行列式为
1 l 2 4 1 l 3 l 4 D 2 3 l 1 2 1 l 1
1 1 1 l 1 0 1 l (1 l)3 (l 3) 4(1 l) 2(1 l)( 3 l)
(1 l)3 2(1 l)2 l 3
令 D 0 得
l 0 l 2 或 l 3 于是 当 l 0 l 2 或 l 3 时
该齐次线性方程组有非零解
第二章 矩阵及其运算
1 已知线性变换
xx1 2 y1 2 y2 y3 2 3y1 y2 x5y3 3 3y1 2 y2 3y3
求从变量 x1 x2 x3 到变量 y1 y2 y3 的线性变换
解 由已知
xx1 2 2 1 y1 x2 3 2 1 3 5 yy2 3 3
2
1
故
yy1 2 x2 3 2 x1 7 y2
3 1 1 2 5 3
x2 3 3 4 9 y2 7 4 y1 6
3
y2 3
y1 7x1 4x2 9x3 y2 6x1 3x2 7x3 y3 3x1 2x2 4x3
2 已知两个线性变换
x
x1 2 y1 y3
yy1 3z1 z22 2 y1 3y2 2 y3 x2 2z1 z3 3 4 y1 y2 5y3
y3 z2 3z3
求从 z1 z2 z3 到 x1 x2 x3 的线性变换
解 由已知
x1 x2 0 2 2 x1 3 1 y5 2 y1 2 2 3
4 4 2 0 3 1 3 1 0 y2
1 2 5 2 0 0 1 3 1 z1 zz2 3
6 1 3 z1 12 4 9 z2 10 1 16 z3
x1 6z1 z2 3z3
所以有 x2 12z1 4z2 9z3
x3 10z1 z2 16z3
1 1 1
3 设 A 1 1 1 1 1 1
B
1 2 3 1 2 4 0 5 1
求 3AB 2A 及 ATB
1 1 1 1 2 3 1 1 1 解 3AB 2A 3 1 1 1 1 2 4 2 1 1 1 1 1 1 0 5 1 1 1 1
0 5 8 1 1 1
3 0 5 6 2 1 1 1 2 9 0 1 1 1
2 13 22
2 17 20 4 29 2 0 5 8 0 5 6 2 9 0
1 1 1 1 2 3 AT B 1 1 1 1 2 4 1 1 1 0 5 1 4 计算下列乘积
4 3 1 7 (1) 1 2 3 2
5 7 0 1 解
4 3 1 7 1 2 3 2 5 7 0 1 4 7 3 2 1 1 1 7 ( 2) 2 3 1 5 7 7 2 0 1 35 6 49
3
(2) (1 2 3) 2
1
3
解 (1 2 3) 2 (1 3 2 2 3 1) (10)
1 2
(3) 1 ( 1 2)
3
解
2
1 ( 1 2) 3
2 ( 1) 2 2 1 ( 1) 1 2 3 ( 1) 3 2 3 1 3 0
1 2 1 2 1 2 1 2
2 4 1 2 3 6
1
(4) 2 1 4 0 0
1 1 3 4 1 4
解
1
2 1 4 0 0 1 1 3 4 1 4
3
1 3 0
6 7 8 20 5 6
a11 a12 a13 x1
(5) (x1 x2 x3) a12 a22 a23 x2
a13 a23 a33 x3 解
a11 a12 a13 x1
(x1 x2 x3) a12 a22 a23 x2
a13 a23 a33 x3
(a11x1 a12x2 a13x3 a12x1 a22x2 a23x3
2 2 2 a x a x a x 1x2 2a13x1x3 2a23x2 x3 11 1 22 2 33 3 2a12 x
x1
a13x1 a23x2 a33x3) x2
x3
5 设 A 1 2
1 3 (1)AB BA 吗? 解 AB BA
B 1 0
1 2
问
因为 AB 3 4
4 6 BA 1 2
3 8
所以 AB BA
(2)(A B)2 A2 2AB B2 吗? 解 (A B)2 A2 2AB B2
因为 A B 2 2
2 5