第一章 行列式
1 利用对角线法则计算下列三阶行列式
2 0 1 4 1 (1) 1 1 8 3
解
2 0 1 4 1 8
1
1 3
2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 24 8 16 4 4
a b c (2) b c a c a b a b c 解 b c a c a b
acb bac cba bbb aaa ccc
3abc a3 b3 c3
1 1 1 (3) a b c
2 2 2 abc
1 1 解 1 a b c 2 2 2 abc
bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a)
x y x y (4) y x y x x y x y
解
x y x y y x y x x y x y
x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x3 2(x3 y3)
2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数
(1)1 2 3 4 解 逆序数为 0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为 4
41 43 42 32 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 2 1 4 1 4 3
(2n)
(3)3 4 2 1 解 逆序数为 5 (4)2 4 1 3 解 逆序数为 3
(5)1 3 (2n 1) 2 4
解 逆序数为 n(n 1)
2
3 2 (1 个)
5 2 5 4(2 个) 7 2 7 4 7 6(3 个)
(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (6)1 3
(2n 1) (2n) (2n 2)
(2n 1)(2n 2) (n 1 个) 2
解 逆序数为 n(n 1)
3 2(1 个)
5 2 5 4 (2 个)
(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 4 2(1 个)
(2n 1)(2n 2) (n 1 个)
6 2 6 4(2 个)
(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1 个)
3 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项 解 含因子 a11a23 的项的一般形式为
( 1)ta11a23a3ra4s
其中 rs 是 2 和 4 构成的排列 这种排列共有两个 即 24 和 42 所以含因子 a11a23 的项分别是
( 1)a11a23a32a44 ( 1)a11a23a32a44 a11a23a32a44 ( 1)ta11a23a34a42 ( 1)2a11a23a34a42 a11a23a34a42
4 计算下列各行列式
t1
4 1 2 4 2 0 2 (1) 11 0 5 2 0 0 1 1 7 4 1 2 4 c c 4 2 3 1 2 0 2 1 解 10 5 2 0 c7c10
4 3 0 1 1 7 0
1 2
2 0 3 2 0 1 10 4 10 12 1 2 2 ( 1)4 3 14 10 3 14 0
2
3 (2) 1 5
4 1 10 c2 c3 9 9 10 0 0 2 0 1 2 2 1 c 10 3 14 c 1 2 3 17 17 14 1 4 1 1 2 1 2 3 2 0 6 2
2 1 4 1 c4 c2 2 1 4 0 r4 r2 2 1 4 0 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 1解 1 1 2 3 0 1 2 2 3 2 3 0 2 1 4 0 5 0 5 0 6 2 6 2 r4 r1 2
3 1 0
1 4 0 1 2 2 0 2 3 0 0 0 0
ab ac ae (3) bd cd de bf cf ef 解
ab ac ae b c e bd cd de adf b c e bf cf ef b c e 1 1 1 adfbce 1 1 1 4abcdef
1 1 1
a 1 0 0 1 b 1 0 (4) 0 1 c 1 0 0 1 d
解
a 1 0 0 0 1 ab 1 0 0 r 1 ar2
1 b 0 b 1
1 c 1 0 1 0 1 d 0 0 a 0 1 0 c 1 1 d
ad 1 ab a 0 c3 dc2 1 ab a
2 1 1 c 1 1 c 1 cd ( 1)( 1)
0 1 d 0 1 0
ad abcd ab cd ad 1 ( 1)( 1)3 21 ab 1 1 cd 5 证明:
a2 ab b2
(1) 2a a b 2b (a b)3;
1 1 1 证明
a2 ab b2 c2 c1 a2 ab a2 b2 a2 2a a b 2b 2a b a 2b 2a 0 1 1 1 c3 c1 1 0
2
b2 a2 ab 3a b a a(b a)(b a) 1 2 (a b) ( 1)
b a 2b 2a 3 1
ax by ay bz az bx x y z (2) ay bz az bx ax by (a3 b3) y z x ; az bx ax by ay bz z x y 证明