∴EH＝OA＝3，∠EHG＝∠GBF＝90°， ∴∠EGH+∠HEG＝90°，

由折叠知，EG＝CE，FG＝CF，∠EGF＝∠C＝90°， ∴∠EGH+∠BGF＝90°， ∴∠HEG＝∠BGF， ∵∠EHG＝∠GBF＝90°， ∴△EHG∽△GBF， ∴∴

，

，

∴BG＝．

5．解：（1）连接AC，交BD于点E，

∵点A，B横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴， ∴BE＝4﹣1＝3， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD＝2BE＝6，AC⊥DB， ∵菱形ABCD面积为∴×BD×AC＝

，

，

∴AC＝，

+a）

∴AE＝CE＝

设点B（4，a），则点A（1，

∵点A，B为反比例函数y＝（k＞0，x＞0）上的两个点， ∴4a＝1×（∴a＝， ∴k＝4a＝；

（2）如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，

+a）

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，

∴∠ADE+∠EAD＝90°，∠EDA+∠CDO＝90°，∠DCO+∠CDO＝90°，∠BCF+∠DCO＝90°， ∴∠EAD＝∠CDO＝∠BCF，且∠AED＝∠DOC＝90°，AD＝CD， ∴△AED≌△DOC（AAS） ∴AE＝DO，ED＝OC， 同理可得：BF＝OC，CF＝DO， 由（1）知，k＝， ∴反比例函数的解析式为y＝设点A（m，

）

﹣m，

∴AE＝DO＝CF＝m，DE＝OC＝BF＝∴点B坐标（

，

﹣m）

∴（﹣m）＝， ，m2＝﹣，

（舍去）

，

）．

∴m1＝∴点A（

），点B（

6．解：（1）①n＝﹣2将点A（3，4）代入一次函数y1＝kx+n（n＜0）得：3k﹣2＝4， 解得：k＝2，

将点A（3，4）代入反比例函数得：m＝3×4＝12； ②由图象可以看出x＞3时，y1＞y2； 故答案为：x＞3；

（2）①当x＝1时，点D、B、C的坐标分别为（1，2+n）、（1，m）、（1，n）， 则BD＝|2+n﹣m|，BC＝m﹣n，DC＝2+n﹣n＝2 则BD＝BC或BD＝DC或BC＝CD，

即：|2+n﹣m|＝m﹣n或|2+n﹣m|＝2或m﹣n＝2， 即：m﹣n＝1或0或2或4， 当m﹣n＝0时，m＝n与题意不符，

点D不能在C的下方，即BC＝CD也不存在，n+2＞n，故m﹣n＝2不成立， 故m﹣n＝1或4； ②点E的横坐标为：当点E在点B左侧时，

，

d＝BC+BE＝m﹣n+（1﹣）＝1+（m﹣n）（1﹣），

m﹣n的值取不大于1的任意数时，d始终是一个定值，

当1﹣＝0时，此时k＝1，从而d＝1． 当点E在点B右侧时，

同理BC+BE＝（m﹣n）（1+）﹣1， 当1+＝0，k＝﹣1时，（不合题意舍去） 故k＝1，d＝1，

此时D（1，1+n），B（1，m），C（1，n），y1＝x+n， ∴∠DEB＝45°，△DEB是等腰直角三角形，

∴DE＝BD＝（1+n﹣m），BC＝m﹣n

∵m﹣n≤， ∴BC的最大值为， ∵DE+BC＝1， ∴DE的最小值为．

7．解：（1）由题意可知AE＝4，

∵矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，AD⊥x轴，且AB＝3， ∴BE＝

＝

＝5；

（2）∵BE＝5，CF﹣BE＝2， ∴CF＝7， ∵BC＝AD＝8， ∴BF＝8﹣7＝1，

设E（m，4），则F（m+3，1），

∵点E、F在函数y＝（x＞0）的图象上， ∴k＝4m＝（m+3）×1， 解得k＝4． 8．解：（1）反比例函数

是闭区间[1，2019]上的“闭函数”，

理由：∵当x＝1时，y＝2019，当x＝2019时，y＝1， ∴反比例函数

是闭区间[1，2019]上的“闭函数”；

（2）∵二次函数y＝x2﹣2x﹣k＝（x﹣1）2﹣1﹣k， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大，