2017届高考数学二轮复习第2部分专题一三角函数与解三角形必考点 下载本文

专题一 三角函数与解三角形

必考点一 三角函数图象与性质

类型一 学会踩点

3?π?2

[例1] (本题满分12分)已知函数f(x)=cos x·sin?x+?-3cosx+,x∈R.

3?4?(1)求f(x)的最小正周期;

?ππ?(2)求f(x)在闭区间x∈?-,?上的最大值和最小值.

?44?

3133?1?2

解:(1)由已知得f(x)=cos x·?sin x+cos x?-3cosx+=sin x·cos x-

4222?2?cosx+

2

3

(2分) 4

13313

=sin 2x-(1+cos 2x)+=sin 2x-cos 2x(4分) 44444π?1?

=sin?2x-?.(6分)

3?2?

所以,f(x)的最小正周期T==π.(7分)

2

π??π?ππ?(2)因为f(x)在区间?-,-?上是减函数,在区间?-,?上是增函数.(10分) 12??4?124?

f?-?=-,f?-?=-,f??=.(11分)

4?12?2?4?4?4?

11?ππ?所以,函数f(x)在闭区间?-,?上的最大值为,最小值为-.(12分)

42?44?评分细则:得分点及踩点说明

(1)第(1)问无化简过程,直接得到f(x)=

π?1?

sin?2x-?,扣5分.每一步用公式正确就得分.

3?2?

(2)化简结果错误,但中间某一步正确,给2分.

1?π?111?π?(3)第(2)问只求出f?-?=-,f??=得出最大值为,最小值为-,得1分.

4?4?444?4?(4)若单调性出错,只得1分. (5)单调性正确,但计算错误,扣2分.

π

(6)若求出2x-的范围,再求函数的最值,同样得分.

3

?π?

1

?π?1

?π?1

π??1.已知函数f(x)=4cos ωx·sin?ωx+?(ω>0)的最小正周期为π. 4??(1)求ω的值;

?π?(2)讨论f(x)在区间?0,?上的单调性.

2??

π??解:(1)f(x)=4cos ωxsin?ωx+?

4??=22sin ωxcos ωx+22cosωx =2(sin 2ωx+cos 2ωx)+2 π??=2sin?2ωx+?+2.

4??

因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0, 2π

所以=π,故ω=1.

π??(2)由(1)知,f(x)=2sin?2x+?+2. 4??πππ5π

若0≤x≤,则≤2x+≤. 2444

ππππ

当≤2x+≤,即0≤x≤时,f(x)单调递增; 4428ππ5πππ

当≤2x+≤,即≤x≤时,f(x)单调递减. 24482

2

?π??ππ?综上可知,f(x)在?0,?上单调递增,在?,?上单调递减.

8???82?

类型二 学会审题

ππ?π?[例2] 已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)?ω>0,-≤φ<?的图象关于直线x=对

22?3?称,且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值;

2π?3π?3?π?α??(2)若f??=?<α<?,求cos?α+?的值.

3?2??2?4?6?审题路线图

(1)条件:fx图象上相邻两个最高点距离为π

fx的周期为π

ω=2 条件:fx图象关于直线x=对称

π3

ππ2×+φ=kπ+32

k∈Z

πφ=-

6

3?α?(2)条件:f??=

?2?4

π?1?sin?α-?= 6?4?

π?15?cos?α-?= 6?4?

3π?3+15?cos?α+?= 2?8?

[规范解答] (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π, 2π

所以f(x)的最小正周期为T=π,从而ω==2.

T

π

又因为f(x)的图象关于直线x=对称,

3ππ

所以2×+φ=kπ+,k∈Z.

32ππ

由-≤φ<,得k=0,

22π2ππ所以φ=-=-.

236

3?α??απ?(2)由(1)得f??=3sin?2·-?=,

26?4?2??π?1?所以sin?α-?=. 6?4?π2π

由<α<, 63ππ得0<α-<,

62π??所以cos?α-?=6??

π?2?1-sin?α-?=

6??

15?1?2

1-??=. 4?4?

π?π?3π????α-α+所以cos??+ ?=sin α=sin??6?6?2?????π?ππ?π??=sin?α-?cos+cos?α-?sin 6?6?66??13151

=×+× 4242=

3+15

. 8

2.(2016·山东临沂一模)已知函数f(x)=2cosωx-1+23cos ωxsin ωx(0<ω<1),π

直线x=是f(x)图象的一条对称轴.

3(1)试求ω的值;

(2)已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,然后再向π?62π??π?左平移个单位长度得到的,若g?2α+?=,α∈?0,?,求sin α的值.

3?52?3??π??2

解:f(x)=2cosωx-1+23cos ωxsin ωx=cos 2ωx+3sin 2ωx=2sin?2ωx+?.

6??π

(1)由于直线x=是函数f(x)=

3

2