习题课（from 1~7）
第四章 信道
4-6
某个信源由A、B、C和D 4个符号组成。设每个符号独立出现，其出现概率分别为1/4、1/4、3/16、5/16，经过信道传输后，每个符号正确接收的概率为1021/1024，错为其它符号的条件概率P(xi/yj)均为1/1024，试求出该信道的容量C。
解：根据离散信道信道容量的定义，C?max[H(X)?H(X|Y)]。即，以p(x)为变量，取
p(x)H(X)?H(X|Y)的最大值。
H(X|Y)??p(yj)H(X|yj)???p(yj)p(xi|yj)logj?1j?1i?1444441p(xi|yj)41102110241 ??p(yj)?p(xi|yj)log??p(yj)[log?3*log1024] (1) p(xi|yj)j?1102410211024j?1i?1102110241?[log?3*log1024]*1?0.0335bit/symbol102410211024通过上述计算发现，对题中所给的对称信道，H(X|Y)是一个常数，与p(x)无关。因此，最大化H(X)?H(X|Y)简化为最大化H(X)。根据题意，X有4种可能，因此
H(X)?2bit/symbol，则
C?max[H(X)?H(X|Y)]?2?0.0335?1.9665bit/symbol
p(x)(2)
@知识点：离散信道信道容量的定义。在离散对称信道下，通过计算可知H(X|Y)是与输入无关的常数。这使得信道容量的计算得到简化。
@注意：题中的概率值P(xi/yj)，不是信道转移概率，而是后验概率。信道转移概率定义为P(yj/xi)，计算需要严格按照信道容量的定义C?maxp(y)[H(Y)?H(Y|X)]进行，这时需要搜索C最大时对应的概率值。
另外教材的例题4-2（P80）的解法，该题中默认等概时可以计算出H(X)，然后根据信道转移概率计算等概条件下H(X|Y)，并直接将二者相减得到信道容量。严格的说，这种做法不对，缺乏必要的分析过程，不符合离散信道信道容量的定义。
下面的做法错误：根据给定的p(x)计算p(yi)，进而计算H(X|Y)
第1页
4-8
设一幅黑白数字像片有400万个像素，每个像素有16个亮度等级。若用3kHz带宽的信道传输它，且信号噪声功率比等于20dB，试问需要传输多长时间？
解：该图像的信息量I?400*104*4?1.6*107bit， 信道容量为
Ct?Blog2(1?S/N)?3*103*log2(1?100)?1.9975*104b/s
(3)
因此，传输时间t?I/C?1.6*107/(1.9975*104)?801.0s
SS@知识点：连续信道的信道容量公式C?Blog2(1?)?Blog2(1?)
Nn0B? 噪声功率N?n0B，单边功率谱密度乘以信道带宽；
? 当信道容量大于信息传输速率，则存在方法可以实现任意小的差错概率进行传输，而不是没有差错；
? 带宽与信噪比在一定程度上可以互换，但是存在上限，即带宽无穷宽时，信道容量为
1.44Sn0
? 香农极限：只要满足EbN0??1.6dB，就可以实现可靠传输，信噪比小于-1.6dB则无法传输任何信息。
? 理想通信系统：实现了极限信息传输速率，即达到信道容量，而且错误率为0的通信系统。
第五章 模拟调制技术
5-3
根据图P5-1所示的调制信号波形，试画出DSB及AM信号的波形图，并比较它们分别通过包络检波器后的波形差别。 m(t) 0 图P5-1 解 设载波c(t)?sin?ct 所示。
第2页
t （1）DSB信号sDSB(t)?m(t)sin?ct的波形如下图（a）所示，通过包络后的输出波形如图（b）
（2）AM信号sAM(t)?[A0?m(t)]?sin?ct，其中A0?|m(t)|max，波形如下图（c）所示，通过包络后的输出波形如图（d）所示。 0 t 0 t DSB波形 DSB包络检波后波形 0 t 0 AM波形 AM包络检波后波形 t @知识点： DSB解调信号已严重失真，这说明DSB信号不能直接采用包络检波；而AM信号在满足A0?|m(t)|max的情况下可采用包络检波恢复m(t)。
5-5
将调幅波通过残留边带滤波器产生残留边带信号。若此滤波器的传输函数H(?)如图P5-2所示。当调制信号为m(t)?A?sin100?t?sin6000?t?时，试确定所得残留边带信号的表达式。
H(ω)1-14-10.5-9.50图P5-29.510.514f /kHz
)。根据残留边带解 设调幅波sAM(t)?[m0?m(t)]cos?ct，其中m0?|m(t)|max，且sAM(t)?SAM(?滤波器在fc处具有互补对称特性，可从H(?)图上可知载频fc=10kHz，由此得到载波cos20000?t。因此
sAM(t)?[m0?m(t)]cos20000?t?m0cos20000?t?A?sin100?t?sin6000?t?cos20000?tA?sin20100?t?sin19900?t?sin26000?t?sin14000?t?2j?AsAM(?)??m0??(??20000?)??(??20000?)??[?(??20100?)2??(??20100?)??(??19900?)??(??19900?)??(??26000?)
?m0cos20000?t?
??(??26000?)??(??14000?)??(??14000?)]设残留边带信号为sVSB(t)，且sVSB(t)?SVSB(?)，则SVSB(?)?SAM(?)H(?)，由于sAM(?)是
第3页
一组离散谱，残留边带信号的频谱也是离散谱，以H(?)在上述离散谱对应频点上取值作为加权。于是
?f??f??f?f???f故
??10.05kHz时，H(?)?10.05?9.5?0.55??10kHz时，H(?)?0.5??9.95kHz时，H(?)?9.95?9.5?0.45??13kHz时，H(?)?1??7kHz时，H(?)?0
sVSB(?)?j?A[0.55?(??20100?)22 ?0.55?(??20100?)?0.45?(??19900?)?0.45?(??19900?)??(??26000?)??(??26000?)]1AsVSB(t)?m0cos20000?t?[0.55sin20100?t?0.45sin19900?t?sin26000?t]
22m0??(??20000?)??(??20000?)???@知识点：残余边带调制的基本原理，残余边带滤波器在中心频率处互补对称特性。
5-11
某线性调制系统的输出信噪比为20dB，输出噪声功率为10-9W，由发射机输出端到解调器输入端之间总的传输损耗为100dB，试求： （１） DSB/SC时的发射机输出功率； （２） SSB/SC时的发射机输出功率。 解
接收端：
DSB/SC调制则可以计算得到，Si/Ni?50
Si/Ni信道损耗DSB/SC解调So/No
根据DSB相干解调的制度增益，有Si/Ni?2(So/No)
?9?9又由于No?Ni/4，根据题中给出的条件No?10可以计算Ni?4*10 ?9因此，Si?50Ni?200*10
10根据题目的条件传输损耗为100dB，则发射机的输出功率是ST?Si*10?2000W
（2）对SSB/SC，调制制度增益为1，即，Si/Ni?So/No
No?Ni/4，因此，Ni?4*10?9，所以有，Si?100Ni?400*10?9 ST?Si*1010?4000W
5-15
已知某单频调频波的振幅是10V，瞬时频率f(t)?106?104cos2??103t(Hz)试求： （1）此调频波的表达式；
（2）此调频波的最大频率偏移、调频指数和频带宽度；
第4页
（3）若调制信号频率提高到2?103Hz，则调频波的频偏、调频指数和频带宽度如何变化？
（4）若峰值频偏加倍，信息信号的幅度怎么变化？
解（1）该调频波的瞬时角频率为
?(t)?2?f(t)?2??106?2??104cos2??103t(rad/s)
t??(4)
瞬时相位?(t)为 ?(t)???(?)d??2??106t?10sin2??103t，因此，调频波的表达式
SFM(t)?Acos?(t)?10cos(2??106t?10sin2??103t)(V)
（2）根据频率偏移的定义
(5)
?f?|?f(t)|max?|104cos2??103t|max?10KHz ?f10Kmf???10
fm1000BNBMF?2(?f?fm)?22KHz
（3）调制信号频率fm由103Hz提高到2?103Hz时，因调频信号的频率偏移与调制信号频率无关，所以这时调频信号的频率偏移仍然是?f?10KHz
?f104??5 而这时的调频指数变为 mf?3fm2?10调频信号的带宽变为 B?2(?f?fm)?2?(10?2)?24KHz
由于?f?fm，所以，虽然调制信号频率fm增加了1倍，但调频信号的带宽B变化很小。
（4）峰值频率偏移加倍，则意味着m(t)幅度为原来的2倍
@知识点：调频波的表达式、最大频率偏移、调频指数和频带宽度
5-17
设有60路模拟话音信号采用频分复用方式传输。已知每路话音信号频率范围为0~4kHz（已含防护频带），先有12路电话复用为一个基群，其中第n路载频
fcn?112?4n(n?1,2,...,12)，采用下边带调制；再由5个基群复用（仍采用下边带调制）
为一个超群，共60路电话，占用频率范围312~552KHz。试求：
（1）各基群占用的频率范围和带宽
（2）超群载频值(需要修改成：超群中各基群所采用的载频值)
第5页
解 （1）根据SSB调制的已调信号的频谱范围，和第n路载频fcn?112?4n(n?1,2,...,12)可以计算每一路的话的频带范围。
对第1路话，载频为108KHz，频带范围为104-108KHz； 对第2路话，载频为104 KHz，频带范围为100-104KHz； 依此类推
因此，基群的频率范围是60~108KHz，占用带宽为12*4=48KHz
(2)以超群中频率最低的一个基群为例。其中红色表示下边带
M(f)48KHz...-108-84-606048KHz...84108KHz
M1(f)48KHz-52848KHz48KHz...31233636048KHz...KHz......-504-480?fc-360-336-312fc480504528
图1 频谱搬移示意图
所以fc?84?336?420kHz，加48*n则为其它基群的载频值。
第六章数字基带传输系统
6-4
设二进制随机序列中的“0”和“1”分别由g(t)和?g(t)组成，它们的出现概率分别为P及（1-P）；
（1） 求其功率谱密度及功率；
（2） 若g(t)为如图P6-1(a)所示波形，TB为码元宽度，问该序列是否存在离散分量
fB?1/TB的离散分量？ （3） 若g(t)改为下图，重新回答题（2）所问。
第6页
g(t)1g(t)1?TB/2OTB/2t图P6?1?(a) 解 （1）随机二进制序列的功率谱密度
2???TBTBOTBTB?2442(b)t
PB(f)?fBP(1?P)|G1(f)?G2(f)|??|fB[PG1(mfB)?(1?P)G2(mfB)]|2?(f?mfB)由题意知
g1(t)??g2(t)?g(t)，因此双极性随机序列的功率谱密度为 PB(f)?4fBP(1?P)|G(f)|?f(1?2P)22B2?|G(mf???B)|2?(f?mfB)
式中，G(f)?g(t)；等式右端第一项是连续谱，第二项是离散谱成分。 功率
S??PB(f)df????4fBP(1?P)?|G(f)|df?f(1?2P)????22B2?|G(mfB)|2?????????(f?mfB)df
?4fBP(1?P)?|G(f)|df?f(1?2P)??22B2?|G(mf??B)|2
TB?1????|t|??（2）若基带脉冲波形g(t)为 g(t)??2
??0???其他(TBf )则g(t)的傅里叶变换G(f)为 G(f)?TBSa?对式PB(f)?4fBP(1?P)|G(f)|?f(1?2P)22B2?|G(mf???B)|2?(f?mfB)
a(是否存在离散谱取决于概率P和G(mfB)，因为 G(fB)?TBS?所以由题（1）的结果可知，该二进制序列不存在离散分量。
TB?1????|t|??（3）若基带脉冲波形g(t)为g(t)??4
??0???其他T?Tf则g(t)的傅里叶变换G(f)为 G(f)?BSa(B )22TBf)?Bsin?T? 0B?sinTB?TBfTB2?TB因为 G(fB)?Sa(?)?? 0222?/2?第7页
?
所以，该二进制序列存在离散分量fB?1/TB。
6-5
设二进制数字基带信号的基本脉冲为三角形脉冲，如图P6-2所示。图中和“0”分别用g(t)的有无表示，且“1”和“0”出现的概率相等。
g(t)ATB为码元间隔，数字信息“1”
?TB/2OTB/2t
（１） 求该数字基带信号的功率谱密度，并画出功率谱密度图；
（２） 能否从该数字基带信号中提取码元同步所需的频率fB?1/TB的分量？若能，试计算该分量的
功率。
图P6?2TB2?A(1?|t|)????|t|??TB4 解 （1）由图P6-2可写出g(t)???0?????????????????????其他?ATB2?TBf 则g(t)的傅里叶变换G(f) G(f)? )Sa(221 由题意，P(0)?P(1)?P?，且有g1(t)?g(t)，g2(t)?0
2 所以 G1(f)?G(f)，G2(f)?0
代入二进制基带信号的功率谱密度公式，可得
PB(f)?fBP(1?P)|G1(f)?G2(f)|??|fB[PG1(mfB)?(1?P)G2(mfB)]|2?(f?mfB)2????fBP(1?P)|G(f)|?f(1?2P)
22B2?|G(mf??B?B)|2?(f?mfB)
fBA2TB24?TBffB2?|Sa()|?4424A2TBA24?TBf?|Sa()|?16216????|G(mf???)|2?(f?mfB)4Sa?(m?)?(f?mfB)2第8页
0.250.20.15Pf0.10.050-8-6-4-20f/fB2468（2）由（1）的结果，该基带信号的离散谱Pv(f)为
A2?4m?Pv(f)?Sa?(2)?(f?mfB) 16??当m??1时，即f??fB时，有
A2??Pv(f)?[Sa4()?(f?fB)?Sa4()?(f?fB)]
1622可见，该二进制数字基带信号中存在fB?1/TB的离散谱分量，故可以提取码元同步所需的频率fB?1/TB的分量。
该频率分量的功率为
A24?A24?A2A22A2Sa()?Sa()?4?4?4 S?162162???6-7
已知信息代码为1011000000000101，试确定相应的AMI码及HDB3码，并分别画出它们的波形图。
解
0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 ｛an｝ 1 AMI +1 0 -1 +1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 +1 - HDB3 +1 0 -1 +1 0 0 0 + V -B 0 0 0 +1 0 -1 V
第9页
+1+E0-E+1+E0-E0-1 +10 00000000-1 0+1 AMI码波形图0-1 +10 00+V-B HDB3码波形图00-V 0+1 0-1 说明：（1）AMI码和AMI的波形图是不同的
（2）AMI码是传号反转，也就是序列中的1交替地用1和-1代替；
HDB3码是在AMI的基础上，为了克服连0情况下缺乏定时信息，同时要尽可能减少直流分量而设计的。对HDB3有下面的编译码规则
编码：遇到4个连0，将最后一个0变成+V或-V，V的极性确定方法：
1） 应满足相邻的两个V极性相反，也就是说，V也要遵守传号翻转的规则；
2） 要使得V与其前面相邻的非0符号极性相同，这是为了在译码的时候能够发现哪些是由4连0
修改得到的码字。
3） 如果第二条不能满足，则根据需要插入破坏脉冲B。 译码：1）若3连0前后的非0脉冲是极性相同的，则该3连0后的是V码，译码时要将000V译成0000； 2）若2连0前后的非0脉冲极性相同，则是B00V，将其译为0000； 3) 然后把其余的1和-1都译为1.
6-11
设基带传输系统的发送滤波器、信道及接收滤波器组成的总特性为H(?)，若要求以
2TB波特的速率
进行数据传输，试验证图P6-6所示的各种H(?)能否满足抽样点无码间串扰的条件。
H(?)1H(?)1矩形矩形???TBTB(a)O???3?TBO3?TB(b)H(?)1?4?H(?)1升余弦型TBO(c)4??TB?2??O2?TBTB(d)
时，能够实现无码间串扰传输的基带系统
图P6?6解 方法1 根据奈奎斯特第一准则，当最高传码率RB?1的总特性H(?)应满足
Ts?H(??i2?i?)?C,?????????|?|? TsTs第10页
令fB?1/TB，则题目要求的R?2fB，根据奈奎斯特第一准则，需要一个最大传输速率为2mfB的系统。对比4个图，仅c满足要求。
方法2 由H(?)求出系统无码间串扰最高传码率RBmax?2fN，然后与实际传输速率RB?2行比较。若满足 RBmax?nRB?????????n?1,2,3
Ts进
所以实际速率RB进行数据传输时，满足抽样点上无码间串扰的条件。
12?RB?，故不能 TsTs3（b）RBmax?虽然大于RB但非整数倍关系，故不能
Ts2?RB，故该H(?)满足无码间串扰传输的条件； （c）RBmax?Ts1RBmax??RBTs（d），故不能。
（a）RBmax?
6-17
某二进制数字基带传输系统所传输的是单极性基带信号，且数字信息的“1”和“0”的出现概率相等
（1）若数字信息为“1”时，接收滤波器的输出信号在抽样判决时刻的值是A=1V，且接收滤波器的输出噪声是均值为0、均方根值为0.2V的高斯噪声，试求这时的误码率Pe；
（2）若要求误码率Pe不大于10?5，试确定A至少应该是多少？
解（1）根据6.5.2中二进制单极性基带系统的判决电平和误码率的结果，最佳判决电平为
A?2P(0)V??ln
2AP(1)*d1A) 对本题，由于“1”和“0”等概，所以，最佳判决电平为A/2，误码率为Pe?erfc(222?n将已知条件A?1,?n?0.2代入即得到此时的误码率
11Pe?erfc()?6.21*10?3
20.42（2）若要求Pe不大于10?5，代入Pe?求出A?8.6?n
1A1Aerfc()可以得到，erfc()?10?5，可以2222?R22?R说明：对于双极性信号，Pe?于单极性信号。
1Aerfc()。在相同条件下，双极性信号的抗噪声性能优22?R第11页
6-20
一相关编码系统如图所示。图中，理想低通滤波器的截止频率为1/2TB赫兹，通带增益为TB。试求该系统的单位冲激响应和频率特性。
输入输出相减理想低通滤波器延时2TB
解 由题意，这是第IV类部分响应系统。理想低通滤波器的传输函数为
??T???????|?|??BTB HL(?)???0????????其他?其对应的单位冲激响应为
hL(t)?Sa(?TBt)
则系统单位冲激响应为
h(t)?[?(t)??(t?2TB)]?hL(t)?hL(t)?hL(t?2TB)?Sa(?TBt)?Sa(?TB(t?2TB))
系统的传输函数为两部分的传输函数相乘
???j2?TBT(1?e)???????|?|??BTB H(?)?(1?e?j2?TB)HL(?)???0??????????????????????????其他???2Tsin?T?????|?|?B?BTB 所以H(?)???0???????????????????其他?6-23
设有一个三抽头的时域均衡器，如图所示，输出x(t)在各抽样点的值依次为
x?1x?2=1/8，
=1/3，
x0=1，
x?1=1/4，
x?2=1/16，在其他抽样点均为零，试求均衡器输入波形x(t)的峰
值失真及输出波形y(t)的峰值失真。
第12页
x(t)TpTq-1/31相加-1/4y(t)
解 输入波形x(t)的峰值失真
1Dx?x0k??2k?0?|x2k|?111137 ????8341648由公式:yk?i??N?cxiNk?i ，可得
111y?3?c?1x?2?????
38241111y?2?c?1x?1?c0x?2????1??
3387211?1?11y?1?c?1x0?c0x?1?c1x?2???1?1????????
33?4?832y0?c?1x1?c0x0?c1x?1??11?1?15??1?1?????? 34?4?36y1?c?1x2?c0x1?c1x0??y2?c0x2?c1x1?1?111?1?1 ??1??????1??3164?4?481?1?1??????0 16?4?41?1?1 y3?c1x2???????41664??其他yk值均为0。 所以输出波形的峰值失真为
1Dy?y0k??3k?0?36?11111?71 yk??????0???5?2472324864?480第13页
第七章 数字频带传输系统
7-16
已知2PSK系统的传输速率为2400b/s试确定
（1）2PSK信号的主瓣宽度和频带利用率（b/(SHz)）;
（2）若对基带信号采用??0.4余弦滚降滤波预处理，再进行2PSK调制，这时占用的信道带宽和频带利用率为多大？
（3）若传输带宽不变，而传输速率增至7200b/s，则调制方式应作何改变？ （1）2PSK信号的带宽是基带信号的两倍，即，B2PSK?2fB
在采用矩形成形滤波的情况下，已调信号的主瓣宽度fB?RB?2400Hz 因此，B2PSK?2*2400?4800Hz
??RB?0.5 B2PSK（2）RB?2400Baud/(Hz*s)
fN?RB/2?1200Hz
fB?(1??)fN?1.4*1200?1680Hz B2PSK?2fB?2*1680?3360Hz
??RB?0.71 B2PSK（3）速率增大后，需要采用多进制处理 7-17
设某MPSK系统的比特率为4800b/s，并设基带信号采用??1余弦滚降滤波预处理。试问： （1）4PSK占用的信道带宽和频带利用率 （2）8PSK占用的信道带宽和频带利用率
（1）在4PSK下，RB?2400。其所需的奈奎斯特带宽为fN?1200Hz，因为采用余弦滚降，实际的基带信号带宽为fB?(1??)fN?2400Hz 根据B2PSK?2fB，得到B2PSK?2fB?4800Hz。
??Rb?1b/(s*Hz) B2PSK（2）在8PSK下，RB?1600，其所需的奈奎斯特带宽为fN?800Hz，因为采用余弦滚降，实际
的基带信号带宽为fB?(1??)fN?1600Hz 根据B2PSK?2fB，得到B2PSK?2fB?3200Hz。
??Rb?1.5b/(s*Hz) B2PSK第14页
补充1
f1?f2?2MHzRB?2400Baud/s2已知某2FSK信号，，中心频率，试分析
（1）针对相干解调、非相干正交解调和非相干包络检波，确定合理的载频f1,f2
fc?（2）分别给出已调信号的主瓣宽度
（3）若使用??0.5的升余弦，系统带宽是多少？
（1）对相干解调，要求两个载频在一个码元内正交，即
?TB0TBcos?1tcos?2tdt?0
1?02[cos(?1??2)t?cos(?1??2)t]dt?0
由于?1??2是远远高于?1??2的频率分量，认为其在一个码元内积分为0，于是， sin2??fTB?0
对上式，只要满足2?f/fB?n即可。从节省带宽的角度，取n=1，得到
?f?f2?f1?fB/2，与题目中的条件fc?f1?f2?2MHz联立，求解方程组即可得到载频值 2f1?(2M?0.6K)Hz?f2?f1?1.2K，解得 ?f?f?4Mf?(2M?0.6K)Hz?212对非相干正交解调，有f2?f1?kfB，通常取k?1，于是 f1?(2M?1.2K)Hz?f2?f1?2.4K，解得 ?f?f?4Mf?(2M?1.2K)Hz?212
对非相干包络检波， 有f2?f1?2fB，于是
f1?(2M?2.4K)Hz?f2?f1?4.8K，解得 ?f2?(2M?2.4K)Hz?f2?f1?4M（2）对相干解调，B?f2?f1?2fB?6KHz 对非相干正交解调，B?fB?2fB?7.2KHz 对包络检波解调，B?2fB?2fB?9.6KHz
（3）系统带宽
fB?(1??)fN?1.8K，再代入上一小题中计算得到的带宽。
补充2
某DBPSK系统c，B （1）给出已调信号主瓣宽度
（2）传输系统用??0.5的升余弦，系统带宽，频带利用率 （3）接收方式
（1）B2DPSK?2fB?20MHz
（2）fN?5MHz，fB?(1??)fN?7.5MHz
f?4GHzR?10MBaud/sB2DPSK?2fB?15MHz
??Rb/B2DPSK?2/3
（3）
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BPFBPF4GHz770MHz
补充3
已知信道带宽2.4KHz~4.8KHz，要实现信息速率9.6Kbps，设计发送端 用MPSK，fB?1.2KHz
下面根据Rb?9.6Kbps，推算采用M进制是否能满足要求
M?4,RB?4.8K,fN?2.4K，不满足 M?8,RB?3.2K,fN?1.6K，不满足 M?16,RB?2.4K,fN?1.2K，不可实现 M?32,RB?1.92K,fN?0.96K,??0.25
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