重点：判断无穷级数的敛散性（各种审敛法及性质的使用）；

幂级数：收敛半径、收敛区间收敛域； 求和函数及幂级数展开：幂级数f(x)?若已知左端求右端这是幂级数展开。 一、单项选择题

1．极限limun?0是级数?un收敛的（ ）。

n??n?0??axnn?0?n：若已知右端求左端这是幂级数求和，

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列级数中，发散的是（ ）

1A. ?2 B.

n?1n3．设a 为常数，则级数

?1??1? C. ?nn?1n???n?0?sinnx D. n23n??1?n ?2n?0?nsin(na)（ ）。 ?3nn?1 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性与a的取值有关。 4.若常数a?0,则级数

?(?1)nn?1?1 （ ）。 1?an

A. 条件收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D.敛散性与a无关. 5．设

?un?1?n是正项级数，下列命题中错误的是（ ）．

??un?1un?1?1，则un收敛 B．如果lim???1，则un发散 A．如果

n??uunnn?1n?1????un?1un?1???1，则un收敛 D．如果?1，则un发散 C．如果limn??uunnn?1n?1??6．若幂级数

?an?0?n。 xn在x?2处收敛，在x??3处发散，则该级数（ ）

A．在x?3处发散 B．在x??2处收敛 C．收敛区间为??3,2? D．当x?3时发散。

7. 下列级数中收敛的是 （ ）。

nn?nnnn?2?42?48?4A．4?8 B．? C． D．? nnn?n8888n?1n?1n?1n?1?nn??8. 级数

?an?1?n。 x的收敛半径为Ｒ，则?an(x?1)n的收敛区间为（ ）

nn?1?Ａ. (?R,R) B. (?R?1,R?1) C.(?R?1,R?1) D. (?R?1,R?1)

xn9． 关于幂函数?，下列结论正确的是（ ）。

n?1n?A．当且仅当x?1时收敛 B．当x?1时收敛 C．当?1?x?1时收敛 D．当?1?x?1时收敛 10．设级数

n?1?an绝对收敛，且lim?an?1??，则（ ）。

n??anA．???? B．??1 C．1????? D．??1

11．设级数

n?1?an条件收敛，且lim?an?1??，则（ ）。

n??anA．???? B．??1 C．1????? D．??1。 (?1)n?112．对于级数?，则下列说法不正确的是（ ）。

3nn?1?A. 交错级数 B. 等比级数 C. 条件收敛 D. 绝对收敛 (?1)n(x?2)n的收敛域是（ ）13．幂级数?。 nn?0?A. (1,3) B. [1,3) C. (1,3] D. [1,3]

xn14．幂级数?的收敛半径为（ ）。 nn?1n?3?A.R??? B.R=1 C.R=2 D.R=3

(x?a)n15．设幂级数? 在点x?2收敛，则实数a的取值范围是（ ）。

nn?1A．1?a?3 B．1?a?3 C．1?a?3 D．1?a?3。

?3???1?n16．幂级数． x的收敛半径是（ ）n3n?1??nA．3 B．6 C．

13 D．

32?an?1117．如果lim。 ?, 则幂级数?anx3n（ ）

n??a8n?0nA．当x?2时, 收敛 B．当x?8时, 收敛 C．当x?11时, 发散 D．当x?时, 发散。 82二、填空题 1．判别级数

?nsinn?1?1的敛散性______________。 n2n2．判断无穷级数?的敛散性 .

n(n?1)2nn!3．级数 ?n的敛散性___________________。1

n?0n?4. 判断级数?n?1?cosnxnn?的敛散性___________

5．判断数项级数?ln(1?n?11)的敛散性___________. n2n6，若 limun?0，则

n???un?0?必定＿＿＿＿＿.。

7．正项级数

??un?1?n的部分和数列有界是该级数收敛的 条件。

8.

?axnn?1n在x?3时收敛，则

?axnn?1?n在x?3时 。.

9．无穷级数

???1?n?1??n?1xn的收敛域 。 nx2n10．幂级数?n的收敛半径R= , 收敛域为 。

n?1411. 已知幂级数

?anx在ｘ＝２处条件收敛，则幂级数?nn?0?annx的收敛半径为 。 n4n?0?12． 函数项级数

?nxn?1?n?1的和函数s(x)? __ ____。

13．设

n?1?anx??n的收敛半径为3，则

?a(x?1)nn?1?n的收敛区间为 。

14．已知

?xn?n?011? 。 (x?1)，则函数项级数21?x1?x?115． 已知??(?1)nxn(?1?x?1),则ln(1?x)?__________________.

1?xn?0三、解答题（共36分，每小题6分） 1．判断级数

n的敛散性。 ?n4?3n?1?2．判断无穷级数

n?1n?n??cosn?3的敛散性。

3．判定级数

?n?1?(?1)nnsin22nn?3为绝对收敛、条件收敛或发散。

4．讨论级数

?(?1)nlnn?1??n?1的敛散性（即绝对收敛、条件收敛和发散）。 n5．讨论级数

?(?1)nn?1?1的敛散性（即绝对收敛、条件收敛和发散）。 np1 的敛散性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛。 n2lnn6．判断级数

?(?1)nn?26．求幂级数

?n?0?n?1??x?1?n的收敛半径和收敛域．

2n?nn7．求幂级数

?nx?的和函数S(x)。

?1xn8．求幂级数?的和函数，并求数项级数?的和。 nn?0(n?1)2n?0n?19．求幂级数

n?1?n?2n的收敛域与和函数。

1展开为x的幂级数，并说出级数的收敛域。 24?x?xn?110．将函数f(x)?11. 将函数

1展开成x的幂级数。 2(2?x)1展开成(x?3)的幂级数并确定收敛域。 x12．将f(x)?四、证明题

1． 证明：级数

?n?1?ncos22nn?1n?3收敛。

2．证明级数

???1?n?1??ln2n 条件收敛。 n3．正项级数收敛。 4．证明级数

?un?1n收敛, 证明级数

?un?1?2n收敛，反之，若级数

?un?1?2n收敛, 则级数

?un?1?n不一定

?nxn?1?n?1?1n(?1,1)，，并计算级数的值。 ?,?n?1(1?x)22n?15．证明级数

?n?1??1111xn1???????的值。 ?ln,(?1,1)，并求级数23n1?32?33?3n?3n1?x

111(?1)nx2n?16．试证幂函数??arctanx，并计算1?????的值。

3572n?1n?0n2?17．设级数?an绝对收敛，证明：级数?2an也绝对收敛。

n?1n?1n??