.

问题的重述

背景

埃博拉病毒（又译作伊波拉病毒）于1976年在苏丹南部和刚果的埃博拉河地区被发现后，引起了医学界的广泛关注和重视。该病毒是能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒，其生物安全等级为4级。

埃博拉病毒有传染性，主要是通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播。各种非人类灵长类动物普遍易感，经肠道、非胃肠道或鼻内途径均可造成感染，病毒的潜伏期通常只有5天至10天，感染后2～5天出现高热，6～9天死亡。发病后1～4天直至死亡，血液都含有病毒。埃博拉病毒感染者有很高的死亡率（在50%至90%之间），致死原因主要为中风、心肌梗塞、低血容量休克或多发性器官衰竭。

当前主流的认知是，埃博拉病毒主要通过接触传播，而非通过空气传播；只有病人在出现埃博拉症状以后才具有传染性。在疾病的早期阶段，埃博拉病毒可能不具有高度的传染性，在此期间接触病人甚至可能不会受感染，随着疾病的进展，病人的因腹泻、呕吐和出血所排出的体液将具有高度的生物危险性；存在似乎天生就对埃博拉免疫的人，痊愈之后的人也会对入侵他们的那种埃博拉病毒有了免疫能力。

埃博拉病毒很难根除，迄今为止已有多次疫情爆发的记录。据百度百科，最近的一次在2014年。截至2014年9月25日，此次在西非爆发的埃博拉疫情已经导致逾3000人死亡，另有6500被确诊感染。更为可怕的是，埃博拉病毒可能经过变异后可以通过呼吸传播！ 问题

假设某地区有20万居民和3000只猩猩。人能以一定的概率接触到所有的猩猩，当接触到有传播能力的猩猩后有一定概率感染病毒，而人发病之后与猩猩的接触可以忽略。研究人员统计了前40周人类和猩猩的发病数量和死亡数量等信息，请你根据相关信息，研究回答以下问题：

1、 根据猩猩的发病数量和死亡数量，建立一个病毒传播模型，动态描述病毒在

“虚拟猩猩种群”中的传播，并预测接下来的在猩猩中的疫情变化，并以下述格式给出“虚拟猩猩种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据；

.

.

“虚拟猩猩种群”群体数量预测结果（单位：只） 第80周 第120周 第200周 潜伏群体 处于发病状态 累计自愈 累计因病死亡 2、 建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型，综合描述人和猩猩疫情的发

展，并预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况，并以下述格式给出 “虚拟人类种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据；

“虚拟人类种群”群体数量预测结果（单位：个） 第80周 第120周 第200周 潜伏人群 处于发病状态 隔离治疗 累计治愈 累计因病死亡 3、 假设在第41周，外界的专家开始介入，并立即严格控制了人类与猩猩的接

触，且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。请预测接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况，对比第2问的预测结果说明其作用和影响，给出“虚拟人类种群”在第45周、第50周、第55周的相关数据，数据格式同问题2；

4、 请依据前述数学模型，分析各种疫情控制措施的严格执行和药物（包括防疫

药物、检疫药物和治疗药物等）效果的提高等措施对控制疫情的作用。

问题分析

2.1问题一的分析

通过对已知条件的分析，并通过给出的表格数据，大致明白猩猩从潜伏到发病再到死亡或自愈。我们通过excel作出发病随时间的变化曲线，潜伏随时间变化曲线，估计参数。然后通过建立数学模型用MATLAB解出方程组，调试参数使其死亡，自愈等曲线与给出表格大致相同，然后通过建立的模型求出问题一。 2.2问题二的分析

同问题一分析，我们通过excel作出相应处于发病状态的曲线，自愈以及死亡和隔离的曲线，估计模型相应的参数。然后通过建立的数学模型用MATLAB解出方程组，调试参数使其自愈，处于发病等曲线和表格给出的数据大致一致。

.

.

2.3问题三的分析

同问题二分析，我们通过excel作出治愈率提高80%后相应处于发病状态的曲线，自愈以及死亡和隔离的曲线，估计模型相应的参数。然后通过建立的数学模型用MATLAB解出方程组，调试参数使其自愈，处于发病等曲线和表格给出的数据大致一致。 2.4问题四的分析

通过上术数据和曲线图的分析，可以很清楚的看出当有人类干预后即就是严格的通过药物后，发病和潜伏等都有很明显的改善。

假设与符号

3.1模型的假设：

? 由于埃博拉病毒的传播期限不是很长，故假设不考虑这段时间内的人口出生

率和自然死亡率； ? 平均潜伏期限为6天；

? 处于潜伏期的埃博拉病人不具有传染性。 3.2符号说明：

t0 表示从最初发现埃博拉患者到卫生部门采取预防措施的时间间隔； N 表示疫区总人口数；

S(t) 表示t时刻健康人数占总人口数的比例； I(t) 表示t时刻感染人数占总人口数的比例； E(t) 表示t时刻潜伏期的人口数占总人口数的比例； Q(t) 表示t时刻退出类的人数占总人数的比例；

λ(t) 表示日接触率，即表示每个病人平均每天有效接触的人数； N’ 表示疫区总猩猩口数；

S(t)’ 表示t时刻健康猩猩数占总猩猩数的比例； I(t)’ 表示t时刻感染猩猩数占总猩猩数的比例； E(t)’ 表示t时刻潜伏期的猩猩数占总猩猩数的比例； Q(t)’ 表示t时刻退出类的猩猩数占总猩猩的比例；

λ(t)’ 表示日接触率，即表示每个病猩猩平均每天有效接触的猩猩数； λ(t)’’ 表示日接触率，即表示每个病猩猩平均每天有效接触的人数； g(t) 表示政府控制力度； f(t) 表示疫情指标。

.

.

模型的建立与求解

4.1问题一模型的构建

由问题的分析，将猩猩群分为易感猩猩群S，病毒潜伏猩猩群E，发病猩猩群I，退出者Q四类：

? 易感人群S与病毒潜伏人群E之间的转化

易感者和发病者有效接触后成为病毒潜伏者，设每个病人平均每天有效接触的健康人数为λ(t)S，NI个病人平均每天能使λ(t)SNI个易感者成为病毒潜伏者。故

N'ds'ds???'S'N'I',即'???'S'I' dtdt? 病毒潜伏人群E与发病人群I间的转化

潜伏人群的变化等于易感人群转入的数量减去转为发病人群的数量，即 dE'?S'?(t)'I'??'E'。 dt? 发病人群I与退出者Q间的转化

单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即

dQ'??'I' dt

ds'???'S'I' dtdE'?S'?(t)'I'??'E' dtdQ'??'I' dtS'?E'?I'?Q'?1

S(0)'?s0',E(0)'?E0',I(0)'?I0',Q(0)'?Q0'

很明显从我们建立的模型是无法得到E’,S’,I’,Q’的解析解的。为了解决这个问题，我们求助于计算机软件MATLAB来求出它们的数值解。

我们先通过附件中给的数据算出每一天的E’,S’,I’,Q’,做出它们与时间的函数图象，然后画出我们通过模型解出的数值解随时间变化的图象。对比这两组图，可以发现实际和理论存在着一定的差异。这必然是因为我们的参数估计不合理造成的。所以，我们必须通过不断调整那些非计算得到的参数（λ’，ε’，

.