确定导模的截止芯厚度的公式(1.5-9) 简化为
?2m?1????2m?1??0 (1.5-16) ?m??2m?1??bcut??12122?12kn2?n24n2?n20?12??12?单模传输的条件式(1.5-14)简化为
?22k0n1??上面讨论的各阶导模的截止情况也与图1-8显示的情况完全相符。
?212n2??0??1??bcut?b?bcut?3?22k0n1?212n2? (1.5-16)
§1.6 远截止近似法
波导模式的特征方程是超越方程，不可能从中得到传播常数的解析表达式。如果当波导芯厚度较大时，可用远截止近似法求出导模传播常数的近似表达式。下面以非对称三层平板波导为例加以说明。
非对称三层平板波导TE和TM模的特征方程为
?1b?m??arctanT2?arctanT3 (m = 0, 1, 2, …) (1.6-1)
为了运算方便，可把T2和T3的表达式改写为
Tj??式中
j??1?cj?1 cj??22nn??j1??TE? (1.6-2) ?TM??1?k0n12?N2??12 ?j?k0N2?n2j??12 (j = 2, 3) (1.6-3)
21212?n2假设导模处于远离截止状态，引入量
??此时导模有效折射率N趋于n1，由上式定义的P可以看成是小量，而P2为二阶小量可略去。利用式(1.6-3)和(1.6-4)做下述变换
2?1b?k0n1?N2?nP??n2121?N2212n2??12 V?k0n12?212?n2b
??n Q??n212n3??12 (1.6-4)
??12b?PV (1.6-5)
212n2212T2??2N??c2?1cn2?N21?2?1?P?212????2?n12?N2?1?n12?n2???c2?n12?N2?????12
c2P?1 (1.6-6) c2P2?3N2?n3T3??c3?1cn2?N231???12?122?n12?N21?n12?n3??c3?n12?N2?????????12
17
1 (1.6-7)
c3QPc3QP利用公式arctan???2?arctan?1??，特征方程(1.6-1)变为
11?1b??m?1???arctan?arctan (m = 0, 1, 2, …) (1.6-8)
T2T3式(1.6-5)、(1.6-6)、(1.6-7)代入上式得到
PV??m?1???arctan?c2P??arctan?c3QP? (1.6-9)
因为c2,c3,Q?1，所以c2P,c3QP??1为小量，因此上式可近似为
?PV??m?1???c2P?c3QP (1.6-10)
由此得到
?m?1?? (1.6-11) P?V?c2?c3Q上式与式(1.6-4)中的第一式联立求解则可得到TE和TM导模的有效折射率N和传播常数?满足的近似表达式分别为
22n1?1?QP??22122? (1.6-12) ?m?1?2?2?n12?n2N???V?c2?c3Q?222? (1.6-13) ?m?1?2?2?n12?n2k022222??k0N?k0n1??V?c2?c3Q?2式中c2、c3、V、Q由式(1.6-2)和(1.6-4)规定。利用式(1.6-4)中的第二、三式还可把上式写成下述形式
N?2n12??m?1?2?2?kb?cn2?21??0?22k0n1?2?12n2??c3n12??2?12?n3??2 (1.6-14)
?22?12?n3??kb??????0?对于对称三层波导，在式(1.6-14)、(1.6-15)中令n2?n3、c2?c3即可。
当给定波导芯厚度b和介电常数分布时，可直接由上式计算出三层平板波导TE和TM导模的有效折射率N和传播常数?的值。图1-9 显示了应用远截止近似法与特征方程对TE 导模计算结果的对比，选择GaAs/Al0.07Ga0.93As对称三层平板波导，取真空中光波长?0 = 1.15 ?m，GaAs波导芯的折射率n1 = 3.45，Al0.07Ga0.93As上下包层的折射率n2 = n3 = 3.43。图中可以看出，由式(1.6-13)得到的有效折射率N的近似解，在模临近截止的区域内与特征方程(1.6-1)的数值解之间存在较大的误差。但当芯厚度b增大时，此误差将迅速地减小，使得在导模远离截止的广大区域内，能够用此方法得到导模有效折射率N和传播常数?比较精确的计算结果。
c2n12c3n12??22k0N2?2?m?1??2k02?2?12n2??? (1.6-15)
18
3.45001010 有效折射率 Nm = 03.4451233.4354563.43002468100波 导芯厚 度 b/?m图1-9 对称三层平板波导的TE导模有效折射率N计算结果的对比，取?0 = 1.15 ?m，n1 = 3.45，n2 = n3
=3.43。实线：远截止近似法式(1.6-13)的结果；虚线：特征方程(1.6-1)的数值结果。
3.440
§1.7 近截止近似法
当导模临近截止时，应用远截止近似法求出导模传播常数的值与特征方程的数值解
之间存在较大的误差。这时我们可以应用下面给出的近截止近似法求出在邻近截止的区域内导模传播常数的近似值。下面以对称三层平板波导为例加以说明。
对称三层平板波导TE和TM模的特征方程为
?1b?m??2arctanT2 (m = 0, 1, 2, …) (1.7-1)
为了运算方便，可把T2的表达式改写为
T2?c2?2式中
?1??1 c2??22??n1n2?TE? (1.7-2) ?TM?2 ?2?k0N2?n2假设导模处于临近截止状态，引入量
?1?k0n12?N2?2?12??12 (1.7-3)
?此时导模有效折射率N趋于n2，由上式定义的P可以看成是小量。利用式(1.7-3)和(1.7-4)做下述变换
?NP??n2?n221212n2??1222 V?k0n1?n2??12b (1.7-4)
19
?1b?k0n12?N?1?P2?212?22?n12?n2??N2?n2b?k0??22n?n12???????n12212?n2?12b
??12V (1.7-5)
2??N2?n2c2P?c (1.7-6) ?2?122222?1221?P?n1?n2?N?n2?把式(1.7-5)和(1.7-6)代入式(1.7-1)得到
12c2P (1.7-7) 1?P2V?m??2arctan2121?P因为P??1为小量，因此上式可近似为
122c2P (1.7-8) 1?P2V?m??2121?P即有
?P2?2212?1?PV?m?1?P?2c2P?m???1?2??2c2P (1.7-9)
??由此得到P满足的方程
?2V?m??P2?4c2P?2?V?m???0 (1.7-10)
解之得到
2?2N2?n2T2?c2?c2?1n12?N2????1212??????????????????2?2c2?4c2?2?2V?m???V?m?? (1.7-11) P?2V?m?上式与式(1.7-4)中的第一式联立求解则可得到TE和TM导模的有效折射率N和传播常数?满足的近似表达式为
??12122???????2c?4c?22V?m?V?m???222222N?n2?n1?n2?? (1.7-12)
2V?m?????????2122???????2c?4c?22V?m?V?m??22222222?22??k0N?k0n2?k0n1?n2??
2V?m?????(1.7-13)
式中c2、V分别由式(1.7-2)和(1.7-4)规定。
当给定波导芯厚度b和介电常数分布时，可直接由上面公式计算出对称三层平板波导TE和TM导模的有效折射率N和传播常数?的值。图1-10 显示了应用近截止近似法与特征方程对TE导模计算结果的对比，选择GaAs/Al0.07Ga0.93As对称三层平板波导，取真空中光波长?0 = 1.15 ?m，GaAs波导芯的折射率n1 = 3.45，Al0.07Ga0.93As上下包层的折射率n2 = 3.43。图中可以看出，由式(1.7-12)得到的有效折射率N的近似解，在模临近截
????2 20