2bk0n1cos?1?2m??2?12?2?13 (1.4-7)
又因k0n1cos?1??1，所以有
2?1b?2m??2?12?2?13 (1.4-8)
式中2?1b是一条光线在两个界面之间往返一次因光程而引起的x方向的横向相移。把
(1.2-9)或(1.2-15)、(1.2-16)代入上式中则可得到TE和TM导2?12和2?13的表达式(1.2-8)、
模的特征方程为
?1b?m??arctanT2?arctanT3 (m = 0, 1, 2, …) (1.4-9)
式中m称为模式阶数，T2、T3定义为
22T2?n1n2222 ?2??303式中，对于TE导模s = 0，对于TM导模s = 1。
导模特征方程(1.4-9)是传播常数?的超越方程，由它不可能得到?的解析解，只能得到?的数值解。又因为这一方程中含的整数m，取值不连续，因而?的取值也不连续，取分立值，即导模的传播常数组成分立谱。
?1???k???s220n1??2212?22?1? T3?n1n3??22212?k02????? (1.4-10)
n? ?????kn? (1.4-11)
s3112§1.5 导模的传输与截止
导模的有效折射率N的变化范围为n2?N?n1sin?1?n1，在此范围内导模能够在
波导中进行传输。当导模的有效折射率N等于芯两侧包层折射率n2时，导模不复存在，
22称为导模截止。此时把N = n2代入式(1.4-11)中得到?1?k0n1?n222?3?k0n2?n3??12，进而由式(1.4-10)得到T2 = 0。下面分别讨论对称三层波导和非对称三层波导中导模的传输与截止情况。
1.5.1 对称三层波导
令n2 = n3代入式(1.4-9)中即可得到对称三层波导TE和TM导模的特征方程为 ?1b?m??2arctanT2 (m = 0, 1, 2, …) (1.5-1)
应用特征方程(1.5-1)进行数值计算，图1-7显示了GaAs/Al0.07Ga0.93As对称三层波导TE和TM导模的传输和截止情况，图中给出了波导芯厚度b与模有效折射率N的关系曲线。取真空中光波长?0 = 1.15 ?m，GaAs波导芯的折射率n1 = 3.45，Al0.07Ga0.93As上下包层的折射率n2 = 3.43。此时由于芯层与上下包层之间的相对折射率差较小，即
n?n23.45?3.43?n?1??0.6%，因此TE和TM的各阶导模的有效折射率之值相差很
n13.45小，相应的曲线相互重合，TE和TM模发生简并。所谓简并，是指同一个有效折射率的
值对应两个或两个以上的模式。
??，?2?0，
12 13
3.45001010 有效折射率 Nm = 03.4451233.4354563.43002468100波 导芯厚 度 b/?m图1-7 对称三层波导TE和TM导模的传输曲线。取?0 = 1.15 ?m，n1 = 3.45，n2 = n3 = 3.43，特征方程
(1.5-1)的数值结果。
3.440
当给定波导芯厚度b时，我们可以判断出波导中能够传输的导模的数量。当第m阶导模截止时，把T2 = 0代入特征方程(1.5-1)可得
2?1bk0n12?n2m??????12b?222n1?n2??12b?0 (1.5-2)
从上式可以看出，波导中所能传输的导模数量与芯厚度或折射率差成正比，芯厚度或折
射率差越大，则波导中所能传输的导模数量越多。当m不为整数时，波导中所能传输的最高导模阶数为mmax = int(m)，考虑到0阶模，因此波导中所能传输的导模数量为M = mmax +1 = Int(m)+1。当m恰为整数时， mmax = m?1，因此波导中所能传输的导模数量为M = mmax +1 = m。
把T2 = 0代入特征方程(1.5-1)，得到第m阶导模截止时的波导芯厚度为
m?0m??m?m? (1.5-3) bcut????1kn2?n2122n2?n21201212因此第m阶导模的截止条件为
m?0m??m? (1.5-4) b?bcut??22122212k0n1?n22n1?n2上式说明当芯厚度b等于或小于第m阶导模的截止芯厚度时，第m阶导模截止。由上式可得到相邻两个导模截止点的间距为
?????????m?1??m?bcut?bcut??2k0n1??212n2??2??0?n12212n2? (1.5-5)
14
即各阶导模的截止点等间距排列。对于0阶导模，称为基模，m = 0，由式(1.5-2)知其截
?0?止芯厚度为bcut?0，这意味着对于任何芯厚度的对称波导，TE和TM基模总能在其中传输，永不截止。在波导器件的实际应用中，常要求在其中使高阶导模截止，只传输TE或TM基模，这种波导称为单模波导。因此在设计和制作单模波导时，其芯厚度不能大于1阶导模的截止芯厚度，即
?2?从上式可以看出，为了保证波导中进行单模传输，波导芯与其两侧包层之间的折射率差越大，波导芯的厚度就应越小。因此为了保证波导中进行单模传输，就应适当减小波导芯厚度或折射率差，使芯厚度小于1阶模的截止芯厚度。上面讨论的各阶导模的截止情况与图1-7显示的情况完全相符。
1.5.2 非对称三层波导
非对称三层波导TE和TM导模的特征方程为
?1b?m??arctanT2?arctanT3 (m = 0, 1, 2, …) (1.5-7) 应用特征方程(1.5-7)进行数值计算，图1-8显示了GaAs/Al0.07Ga0.93As非对称三层波导TE和TM导模的传输和截止情况，图中给出了波导芯厚度b与模有效折射率N的关系曲线。取真空中光波长?0 = 1.15 ?m，GaAs波导芯的折射率n1 = 3.45，Al0.07Ga0.93As下包层的折射率n2 = 3.43，上包层为空气，其有效折射率为n3 = 1。此时由于芯层与上包层空气之间
n?n33.45?1??71%，从图中可以看出TE和TM各的相对折射率差较大，即?n?1n13.45阶模式有效折射率之值有了差别，相应的曲线也已经分开，TE和TM模的简并被消除。
3.45001010?1?b?bcut??2k0n1?212n2????02n1212n2? (1.5-6)
有效折射率 Nm = 03.44513.440233.435453.43002468100波 导芯厚 度 b/?m图1-8 非对称三层波导TE(实线)和TM导模(虚线)的传输曲线。取?0 = 1.15 ?m， n1 = 3.45，n2 = 3.43，
n3 = 1，特征方程(1.5-7)的数值结果。
15
当给定波导芯厚度b时，我们可以判断出波导中能够传输的导模的数量。当第m阶导模截止时，把T2 = 0代入特征方程(1.5-7)
2?1b?arctanT3k0n12?n2b?arctanT3 (1.5-8) m??????12把T2 = 0代入特征方程(1.5-7)中得到第m阶导模的截止波导芯厚度为
m??arctanT3?m?m??arctanT3 (1.5-9) bcut??1222?1k0n1?n2式中
??22??1??3??1?n2?n3T3?? (1.5-10) ???????????2212?3?1?3?n1?n2对于TE导模s = 0，对于TM导模s = 1。因此第m阶导模的截止条件为
m??arctanT3?m?m??arctanT3 (1.5-11) b?bcut??2212?1k0n1?n2由上式可得到相邻两个导模截止点的间距为
ss????12???2?即各阶导模的截止点也是等间距排列。对于0阶导模即基模，m = 0，由式(1.5-11)知其截止芯厚度为
arctanT3?0?bcut??0 (1.5-13)
2212k0n1?n2这一点与对称波导不同。对于对称波导，其0阶导模的截止芯厚度为零，这意味着对于任何芯厚度的对称波导，TE0和TM0基模总能在其中传输，永不截止。而对于非对称波导，其0阶导模的截止芯厚度不为零。因此在波导器件的设计和制作中，波导芯厚度应大于0阶导模的截止芯厚度，否则波导将不能导波。当我们设计单模波导时，其芯厚度要大于0阶导模的截止芯厚度同时要小于等于1阶导模的截止芯厚度，即
arctanT3??arctanT3?0??1? (1.5-14) ?b?b?b?cutcut22122212k0n1?n2k0n1?n2对于许多实际应用的波导如半导体波导，其芯层与下包层的折射率相差很小，而其芯层与上包层的折射率相差较大。对于这种n1?n2??n3的情况，由式(1.5-10)可知T3
?m?1??m?bcut?bcut??k0n12?212n2????0n12212n2? (1.5-12)
??????很大，因此可近似认为arctanT3?2?1b1k0n12?n2m????2??2，此时，确定波导中模式数量的公式(1.5-8)简化为
??12b22?n212n1??2?0??12b?1 (1.5-15) 2 16