arcsinn3n??13??1??12?arcsin2n1n1 (1.1-10)
由上式还可把产生衬底辐射模的条件写为
n3?N?n1sin?1?n2 (1.1-11)
上式两端同乘以真空中波数k0，产生空间辐射模的条件又可写为
k0n3???k0N?k0n2 (1.1-12)
n3108?1n1642?1?20246810n20 图1-3 衬底辐射模
1.1.4 导模
如果入射角?1增大到使光在上下两个界面上都发生全反射时，此时上下包层中不再有折射光，如图1-4所示。在这种情况下，光能量不再向包层中辐射，光被限制在波导芯中以锯齿波的形式沿z方向传输，这种模式称为导模。因此若产生导模，入射角?1必须满足下述条件
arcsinn2??12??1n1 (1.1-13)
由上式还可把产生导模的条件写为
n2?N?n1sin?1?n1 (1.1-14)
上式两端同乘以真空中波数k0，产生空间辐射模的条件又可写为
k0n2???k0N?k0n1 (1.1-15)
5
n3108?1n1642?1n200246810 图1-4 导模
1.1.5 禁区
如果入射角?1增大到90?，则光将沿z方向前进，此时导模的有效折射率N = n1，传播常数??k0n1，这是导模最大可能的传播常数。对于组成波导的各层介质都是线性的情况，N > n1或??k0n1的区域为禁区，代表不存在模式的区域。
1.1.6 表面模
对于某些特殊结构的波导，如金属包层波导和非线性波导，会出现其有效折射率大于n1、传播常数大于 k0n1的情况。这种N > n1或??k0n1的模式称为表面模。
1.2 全反射相移
光在波导界面上发生全反射时，入射角大于临界角。以下界面为例，有
arcsinn2??12??1n1222n?nsin?1?0 (1.2-1) 21 或
下面我们分别讨论TE和TM模由全反射而引起的相移。 1.2.1 TE模的全反射相移 TE模的反射系数公式为
r?E'n1cos?1?n2cos?2?En1cos?1?n2cos?2 (1.2-2)
6
式中E、E'分别为入射场强和反射场强。光在下界面发生全反射时，利用式(1.1-1)和(1.2-1)可得
cos?2?1?sin2?2???12??n122???1?sin?1?2?n2??12?12n2?n12sin2?1n2??12
j22n1sin2?1?n2n2??12 (1.2-3)
上式说明发生全反射时折射角?2变为虚数。上式代入式(1.2-2)得到
2E'n1cos?1?jn12sin2?1?n2r??Encos??jn2sin2??n211112????1212
2?n12sin2?1?n2?exp??j2arctann1cos?1????12????
?exp??j2?12? (1.2-4)
上式表明，光在下界面发生全反射时，反射光和入射光之间产生一个相移?2?12，其中
2?12令
?n?2arctan212sin2?1?n2n1cos?1?12 (1.2-5)
T2???2T3?3?1 (1.2-6a) ?1
?21?k0n1??N212?22??kN?n02 2??1222 ?3?k0N?n3??12 (1.2-6b)
则有
2?1?k0n1?N2?2??k?N02??n?1222?k0n1?n1sin2?1212122??k?n0sin2?1??n?12?k0n1cos?1 (1.2-7a)
(1.2-7b)
2122 7
2?3?k0N2?n3??1222?k0n1sin2?1?n3??12 (1.2-7c)
代入式(1.2-5)则有
2?12?n?2arctan212sin2?1?n2n1cos?1?12?2arctan?2?2arctanT2?1 (1.2-8)
同理，光在上界面发生全反射时的也要产生一个相移?2?13，其中
22??1?n3?1213?2arctan?n1sin22n?2arctan?3??2arctanT31cos?11 1.2.2 TM模的全反射相移 TM模的反射系数公式为
r?E'E?n1cos?2?n2cos?1nn 1cos?2?2cos?1光在下界面发生全反射时，上式(1.2-3)代入式(1.2-10)得到
?nn12cos?1?j?n222?121sinr?E'n?1?n22E?ncos?n1?2212 21?jnn21sin?1?n2?2?n2?22?12?exp?1n1???j2arctansin2?1?n2?n22n1cos?? 1???exp??j2?12? 其中?2?12为光在下界面发生全反射时，反射光和入射光之间产生的相移
2?n2?2?n21n1sin2?12?1212?2arctann2 2n1cos?1此时令
Tn21?22?n2 2? Tn21?33?1n2 3?1?21?k0?n21?N2?1 ??N2?n22?k02?12 ?23?k0?N2?n123? 仍有
??k?210n1?N2?12?k?2220n1?n1sin?1?12?k0n1cos?1 ?2212222122?k0?N?n2??k0?n1sin?1?n2? 8
(1.2-9)
(1.2-10)
(1.2-11)
(1.2-12)
(1.2-13a)
(1.2-13b)
(1.2-14a)
(1.2-14b)