第一章 平板波导的射线理论

光束在介质中传输时，由于介质的吸收和散射而引起损耗，由于绕射而引起发散，这些情况都会导致光束中心部分的强度不断地衰减。因此，有必要设计制作某种器件，它能够引导光束的传播，从而使光束的能量在横的方向上受到限制，并使损耗和噪声降到最小，这种器件通常称为光波导，简称波导。结构最简单的波导是由三层均匀介质组成的，中间的介质层称为波导层或芯层，芯两侧的介质层称为包层。芯层的介电常数比芯两侧包层的介电常数稍高，使得光束能够集中在芯层中传输，因而起到导波的作用。这种波导的介电常数分布是陡变的，也称为阶梯变化的，常称这种波导为平板波导。

对光波导特性的分析，应用两种理论，即射线光学理论和波动光学理论。射线光学理论的优点是对平板波导的分析过程简单直观，对某些物理概念能给出直观的物理意义，容易理解。缺点是对于结构复杂的多层波导射线光学理论不便于应用，或只能得出粗糙的结果。一般而言，若想全面、正确地分析各种结构的光波导的模式特性，还必须采用波动理论。

光射线，简称射线或光线，可以这样理解：一条很细很细的光束，它的轴线就是光射线。它的方向沿着光能流的方向。光线与光束是不同的，光线是无限细的，光束则有一定的尺寸。光线在均匀介质中的传输轨迹是一条直线，在非均匀介质中的传输轨迹是一条曲直线。用射线去代表光能量传输路线的方法称为射线光学。射线光学是忽略光波长的光学，亦即射线理论是光波长趋于零的波动理论。

本章将应用射线光学的基本理论对三层平板波导加以分析，目的是对波导的导波原理和与之相关的某些物理概念为读者给出直观的物理意义和清晰的理解，并为以后运用波动光学理论分析各种结构光波导的模式特性打好基础。

1.1 模式类型

我们把波导中所能传输的电磁场型称为波导的模式，在平板波导中存在两种基本模式，一种称为TE模，另一种称为TM模。两种模式用光的电场和磁场的偏振方向来定

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义比较直观。选择电场只沿平行于波导界面的方向偏振，此时电场垂直于光的传播方向，是横向的，因而把这种模式称为横电模，英文为Transverse Electric Mode，取其字头称为TE模。选择磁场只沿平行于波导界面的方向偏振，此时磁场垂直于光的传播方向，是横向的，因而把这种模式称为横磁模，英文为Transverse Magnetic Mode，取其字头称为TM模。根据模式的导波性或辐射性，可进一步把模式分为导引模式和辐射模式，前者简称导模，而后者简称辐射模。

现来研究三层平板波导，其横截面和相对介电常数分布如图1-1所示，光沿垂直纸面的z方向传输，图中b为波导芯厚度，?1、?2、?3分别为芯层、下包层和上包层的相

2??n11对介电常数，相应的折射率分别为n1、n2、n3，它们与相对介电常数的关系为、22?2?n2、?3?n3。为了分析方便，常令?1??2??3，或n1?n2?n3。当上下包层为同

一种介质时，?2??3，此时为对称三层波导，当上下包层为两种不同的介质时，?2??3，此时为非对称三层波导。令光沿z方向传输，光在y方向不受限制。下面我们对非对称三层波导进行分析，即?1??2??3、n1?n2?n3。对于对称三层波导，只要在分析结果中令n2?n3即可。

xx上 包 层810?3 = n32b64导芯波 b?1 = n1202y?22 = n22406?2?3810下 0包 层0?1?(x)

图1-1 三层平板波导的横截面图及相对介电常数分布，?1 > ?2 ? ?3，当?2 = ?3时为对

称三层平板波导，当?2 ? ?3时为非对称三层平板波导。

1.1.1 折射定律和全反射

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光在波导中传输时，从射线的角度来看，要不断地在波导的两个界面上发生反射和折射，如图1-2所示。反射光的轨迹在芯层中是一个锯齿波。令入射角为?1，在下界面的折射角为?2，在上界面的折射角为?3。当入射角?1较小时光在上下两个界面上都不发生全反射，此时光在上下两个界面上的折射满足折射定律

n1sin?1?n2sin?2 n1sin?1?n3sin?3 (1.1-1)

即有

n1sin?1?n2sin?2?n3sin?3 (1.1-2)

由式(1.1-1)可得

sin?1?n2sin?2n1si?n1?

n3si?n3n1 (1.1-3)

因为n1?n2?n3，由式(1.1-2)可判断出?1??2??3。当入射角?1增大时，折射角为?2 和?3也随之增大。当?3增大到90?时，光在上界面上发生全反射。如果入射角?1继续增大，使得?2也增大到90?时，光在下界面上也要发生全反射。光发生全反射时的入射角称为临界角。由式(1.1-3)可得到光在下、上两个界面上发生全反射时的临界角?12、?13分别为

?12?arcsinn2n1?13?arcsin

n3n1 (1.1-4)

因为n2?n3，所以?12??13。 1.1.2 空间辐射模

当入射角较小时，使得光在上下两个界面上都不发生全反射，如图1-2所示。在这种情况下，光在传输过程中不断地有折射光进入上下包层，即光能量不断地从上下包层中辐射出去，这种模式称为空间辐射模。因此若产生空间辐射模，入射角?1必须满足下述条件

?1??13?arcsin由上式还可得到

n3 (1.1-5) n1 3

n1sin?1?n3 (1.1-6)

我们定义N?n1sin?1为模式的有效折射率。引入有效折射率的概念后，产生空间辐射模的条件又可写为

N?n3 (1.1-7)

令k0?2??0，称k0为为真空中波数，?0真空中光波长，并定义??k0N为模式的传播常数，它是波矢k的z分量，即kz??。引入传播常数的概念后，上式两端同乘以k0，因此产生空间辐射模的条件又可写为

??k0N?k0n3 (1.1-8)

我们把产生空间辐射模的条件合写如下

?1??13?arcsinn3n1?1?n3 ??k0N?k0n3 (1.1-9) N?n1sin传播常数?的单位通常采用cm-1或mm-1。

n3?3?1108n1642?1?20246810n20 图1-2 空间辐射模

1.1.3 衬底辐射模

如果入射角?1增大到使光在上界面发生全反射但在下界面还没发生全反射，如图1-3所示。此时光在传输过程中不断地有折射光进入下包层，即光能量不断地从下包层(有时也为衬底)中辐射出去，这种模式称为衬底辐射模。因此若产生衬底辐射模，入射角?1必须满足下述条件

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