∴DG＝DN＝BN＝BG， ∴MG＝FN，

∵AM∥OG，OA＝OC， ∴MG＝CG， ∴CG＝FN，

在△DNF和△DGC中，∴△DNF≌△DGC（SAS）， ∴DF＝DC，∠NDF＝∠GDC， ∴∠FDC＝∠NDG＝90°， ∴CF＝∴CF＝

CD， AB．

，

12．已知在?ABCD中，点E，F分别为边AB，BC上的点，∠ADE＝∠BAF，DE，AF交于点M．

（1）如图1，若∠ABC＝90°，求证：△AEM∽△AFB； （2）若E为AB中点． ①如图2，若AF⊥BC，

＝，求

的值；

的值（用n的式子表示）．

②如图3，若∠ABC＝60°，＝n，请直接写出

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，

25

∴四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠ABC＝90°，且∠ADE＝∠BAF， ∴∠BAD﹣∠BAF＝∠ABC﹣∠BAF ∴∠AED＝∠AFB，且∠BAF＝∠BAF， ∴△AEM∽△AFB

（2）如图2，过点E作EN⊥AF于点N，

∵EN⊥AF，BF⊥AF， ∴EN∥BF， ∴

∴AF＝2AN，BF＝2EN， ∵

＝，

∴AD＝3BF， ∴AD＝6EN，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥EN ∴△MNE∽△MAD ∴

，∠ADE＝∠MEN，

∴AM＝6MN， ∴AN＝7MN，

∵∠ADE＝∠MEN，∠BAF＝∠ADE， ∴∠BAF＝∠MEN，且∠ANE＝∠ANE， ∴△ENM∽△ANE， ∴

26

∴EN2＝MN?AN＝AN2， ∵设AE＝BE＝a，EN＝b， ∴BF＝2b，AD＝6b， ∴b2＝（a2﹣b2） ∴a＝2

b

b，AD＝6b，

∴AB＝2AE＝2a＝4∴

②如图3，过点A作AH平分∠BAD，交BC的延长线于H，过点B作BG∥AH交AF的延长线于点G，

∵＝n，E为AB中点．

∴AB＝nAD，AE＝BE＝AD ∵∠ABC＝60°，AD∥BC， ∴∠BAD＝120°， ∵AH平分∠BAD， ∴∠BAH＝60°＝∠ABC ∴△ABH是等边三角形， ∴AB＝AH＝BH＝nAD， ∵BG∥AH

∴∠H＝∠GBF＝60°，

∴∠ABG＝120°＝∠EAD，且∠BAF＝∠ADE， ∴△ABG∽△DAE，

27

∴∴BG＝

AD

∵BG∥AH ∴△BFG∽△HFA ∴∴

∴FH＝BF ∵BH＝BF+FH ∴nAD＝（∴

＝

）BF

13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC，O为AC中点，点D在BO延长线上，CD＝BC，AE∥BC，CE＝CA，AE交BD于点G． （1）若∠DCE＝28°，求∠AOB的度数； （2）求证：AG＝GE； （3）设DC交GE于点M；

①若AB＝3，BC＝4，求AG：GM：ME的值；

②连结DE，分别记△ABG，△DGM，△DME的面积为S1，S2，S3，当AC∥DE时，S1：S2：S3＝ 6：1：2 （直接写出答案）．

解：（1）∵CD＝BC，CE＝CA， ∴∠CAE＝∠CEA，∠CBD＝∠CDB， ∵AE∥BC， ∴∠CAE＝∠OCB，

∵∠ABC＝90°，O为AC中点，

28