∴DF＝＝＝；

（2）如图1所示：

作点F关直线AB的对称点M，连接DM交AB于点N， 连接NF，ME，点E在AB上是一个动点，

①当点E不与点N重合时点M、E、D可构成一个三角形，∴ME+DE＞MD，

②当点E与点N重合时点M、E（N）、D在同一条直线上，∴ME+DE＝MD

由①和②DE+EF的值最小时就是点E与点N重合时， ∵MB＝BF， ∴MB＝1， ∴MC＝3， 又∵DC＝3，

∴△MCD是等腰直角三角形， ∴MD＝

＝＝3

，

∴NF+DN＝MD＝3

，

∴l?DEFG＝2（NF+DF）＝6； （3）∵?DEFG为正方形， ∴DE＝EF，∠DEF＝90°，

∴∠ADE+∠AED＝∠AED+∠BEF＝90°， ∴∠ADE＝∠BEF， ∴△ADE≌△BEF（AAS）， ∴AE＝BF＝1，BE＝AD＝2，

13

过点B作BH⊥EF， 如图2所示：

在Rt△EBF中，由勾股定理得： EF＝＝

＝

，

∴BH＝

＝，

又∵△BEF～△FHB， ∴

＝

，

HF＝＝＝，

在△BPH和△GPF中有：∠BPH＝∠GPF，∠BHP＝∠GFP，∴△BPH∽△GPF， ∴

＝

＝

＝，

∴PF＝?HF＝，

又∵EP+PF＝EF， ∴EP＝

﹣

＝

，

又∵AB∥BC，EF∥DG，

∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ， ∴△EBP∽△DQG（AA）， ∴

＝

＝

＝．

14

7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为t秒（0＜t＜5）． （1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？

（2）设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM＝S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；

（4）连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

解：（1）假设四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC， ∴AP：AB＝AM：AC， ∵AB＝AC，

∴AP＝AM，即10﹣t＝2t， 解得：t＝∴当t＝

，

时，四边形PQCM是平行四边形；

（2）∵PQ∥AC， ∴△PBQ∽△ABC，

∴△PBQ为等腰三角形，PQ＝PB＝t， ∴

，即

，

解得：BF＝t，

∴FD＝BD﹣BF＝8﹣t， 又∵MC＝AC﹣AM＝10﹣2t，

15

∴y＝（PQ+MC）?FD＝（t+10﹣2t）（8﹣t）＝t2﹣8t+40； （3）不存在； ∵S△ABC＝

＝×

10×8＝40， 当S四边形PQCM＝S△ABC时，y＝t2﹣8t+40＝40， 解得：t＝0，或t＝20，都不合题意，因此不存在；

（4）假设存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上，则MP＝MC，过M作MH⊥AB，交AB与H，如图所示： ∵∠A＝∠A，∠AHM＝∠ADB＝90°， ∴△AHM∽△ADB， ∴，

又∵AD＝＝6，

∴

， ∴HMt，AH＝t， ∴HP＝10﹣t﹣t＝10﹣t，

在Rt△HMP中，MP2＝

+

＝

t2﹣44t+100，

又∵MC2＝（10﹣2t）2＝100﹣40t+4t2， ∵MP2＝MC2， ∴t2﹣44t+100＝100﹣40t+4t2，

解得 ，t2＝0（舍去），

∴t＝

s时，点M在线段PC的垂直平分线上．

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