∵AE＝1，DC＝AB＝3， ∴BE＝EF＝DE＝2，DF＝4， ∴AD＝＝＝

，BD＝＝

＝2

，

∴EC＝＝

＝

，

∵BE∥CD， ∴△BEP∽△DCP， ∴＝

， ∴＝， ∴PC＝．

（3）∵△BDC沿BD翻折得到△BDQ，∠EDB＝∠BDC， ∴点Q在DF上，且BQ⊥DF， ∴QE＝DQ﹣DE＝3﹣2＝1， ∴AE＝QE， ∴∠EAQ＝∠EQA， ∵∠AEQ＝∠BED， ∴△AEQ∽△BED，

∴△AEQ的周长：△BED的周长＝AE：BE＝1：2， ∵△BED的周长＝2+2+2＝4+2

，

∴△AEQ的周长＝2+

．

9

5．如图，在平面直角坐标系中，点B（12，10），过点B作x轴的垂线，垂足为A．作y轴的垂线，垂足为C．点D从O出发，沿y轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E从O出发，沿x轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F从B出发，沿BA方向以每秒2个单位长度运动．当点E运动到点A时，三点随之停止运动，运动过程中△ODE关于直线DE的对称图形是△O′DE，设运动时间为t．

（1）用含t的代数式分别表示点E和点F的坐标；

（2）若△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似，求t的值； （3）当t＝2时，求O′点在坐标．

解：（1）∵BA⊥x轴，CB⊥y轴，B（12，10）， ∴AB＝10，

由运动知，OD＝t，OE＝3t，BF＝2t（0≤t≤4）， ∴AF＝10﹣2t，

∴E（3t，0），F（12，10﹣2t）；

（2）由（1）知，OD＝t，OE＝3t，AF＝10﹣2t， ∴AE＝12﹣3t， ∵BA⊥x轴，

∴∠OAB＝90°＝∠AOC，

∵△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似， ∴△DOE∽△EAF或△DOE∽△FAE， ①当△DOE∽△EAF时，，

∴，

∴t＝

，

10

②当△DOE∽△FAE时，，

∴

，

∴t＝6（舍），

即：当△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似时，t＝秒；

（3）如图，

当t＝2时，OD＝2，OE＝6，

在Rt△DOE中，根据勾股定理得，DE＝2，

连接OO'交DE于G， ∴OO'＝2OG，OO⊥DE， ∴S△DOE＝OD?OE＝DE?OG， ∴OG＝＝

＝，

∴OO'＝2OG＝，

∵∠AOC＝90°，

∴∠HOO'+∠AOO'＝90°， ∵OO'⊥DE，

∴∠OED+∠AOO'＝90°， ∴∠HOO'＝∠OED， 过点O'作O'H⊥y轴于H， ∴∠OHO'＝90°＝∠DOE， ∴△OHO'∽△EOD， ∴

， ∴，

∴OH＝，O'H＝，

∴O'（

，

）．

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6．如图1，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E，F分别在边AB，BC上，且BF＝FC，连接DE，EF，并以DE，EF为边作?DEFG． （1）连接DF，求DF的长度； （2）求?DEFG周长的最小值；

（3）当?DEFG为正方形时（如图2），连接BG，分别交EF，CD于点P、Q，求BP：

QG的值．

解：（1）如图1所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC， ∵BF＝FC，AD＝2； ∴FC＝1， ∵AB＝3； ∴DC＝3，

在Rt△DCF中，由勾股定理得，

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