中考三轮冲刺：《相似综合训练》

1．已知：已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AC、BC上的点，连DE，且

＝

，tanB＝

，如图1．

（1）如图2，将△CDE绕C点旋转，连AD、BE交于H，求证：AD⊥BE； （2）如图3，当△CDE绕C点旋转过程中，当CH＝

时，求

AH﹣BH的值；

（3）若CD＝1，当△CDE绕C点旋转过程中，直接写出AH的最大值是 2

．

（1）证明：如图2中，设BE交AC于O．

∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠ECB， ∵＝， ∴

＝

，

∴△ACD∽△BCE， ∴∠DAC＝∠EBC， ∵∠AOH＝∠BOC， ∴∠AHO＝∠BCO＝90°， ∴AD⊥BE．

＝

1

（2）解：如图2中，在HB上取一点T，使得HT＝AH，连接AT．

在Rt△AHT中，tan∠ATH＝＝

，

∵tan∠ABC＝

，

∴∠ATH＝∠ABC，

∵∠ATH+∠HAT＝90°，∠ABC+∠CAB＝90°， ∴∠HAT＝∠CAB， ∴∠CAH＝∠BAT， ∴△AHT∽△ACB， ∴＝， ∴

＝

，

∴△CAH∽△BAT， ∴

＝

，

∵HT＝AH，设AH＝m，则HT＝m，AT＝

m，

∴

＝

， ∴BT＝．

（3）解：如图3中，

在Rt△AHB中，∵AH＝AB?sin∠ABH，

∴当∠ABH最大时，AH的值最大，此时CE⊥BE， ∵∠DCE＝∠CEH＝∠EHD＝90°， ∴此时四边形ECDH是矩形，

2

∴DH＝EC，∠ADC＝∠CDH＝90°， 由题意CD＝1，EC＝∴DH＝CE＝

＝

＝2．

，

＝

，

，AC＝

，

在Rt△ACD中，AD＝∴AH＝AD+DH＝∴AH的最大值为2故答案为：2

．

+

2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，E为BC上一点，且BE＝1，∠AED＝90°，将△AED绕点E顺时针旋转得到△A′ED′，A′E交AD于P，D′E交CD于Q，连接PQ，当点Q与点C重合时，△AED停止转动． （1）求线段AD的长；

（2）当点P与点A不重合时，试判断PQ与A′D′的位置关系，并说明理由； （3）求出从开始到停止，线段PQ的中点M所经过的路径长．

解：（1）∵AB＝2，BE＝1，∠B＝90°， ∴AE＝

∵∠AED＝90°， ∴∠EAD+∠ADE＝90°，

∵矩形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴∠BAE+∠EAD＝90°， ∴∠BAE＝∠ADE， ∴△ABE∽△DEA，

3

＝＝，

∴， ∴

，

∴AD＝5；

（2）PQ∥A′D′，理由如下： ∵， ∴

＝

＝2

，

∵AD＝BC＝5，

∴EC＝BC﹣BE＝5﹣1＝4， 过点E作EF⊥AD于点F，

则∠FEC＝90°，

∵∠A'ED'＝∠AED＝90°， ∴∠PEF＝∠CEQ， ∵∠C＝∠PFE＝90°， ∴△PEF∽△QEC， ∴，

∵，

∴

，

∴PQ∥A′D′；

（3）连接EM，作MN⊥AE于N， 由（2）知PQ∥A′D′， ∴∠EPQ＝∠A′＝∠EAP，

又∵△PEQ为直角三角形，M为PQ中点，

4