五年级思维提升训练Q（二）

问在前500个数中，有几个偶数？

解：经过观察可以发现，数字的奇偶性是：奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶??，故以3为周期循环，500÷3=166?2，所以第500个数字是奇数。

例题5、晓晨在文具店买了5本笔记本，1支钢笔，3支自动铅笔和6块橡皮.已知笔记本每本2元，1支钢笔5元。自动铅笔和橡皮的价格晓晨记不清了。售货员要晓晨付25元，晓晨马上说售货员把帐算错了，你知道为什么吗？

解：买自动铅笔和橡皮一共用了25-(2×5+5×1)=10(元)，因为买了3只铅笔和6块橡皮，所以买的总数是3的倍数，总钱数也应该能被3整除，但10不能被3整除，故晓晨马上说售货员把帐算错了。

试一试5、小兵在文具店买了3本笔记本，1支钢笔，2支自动铅笔和4块橡皮。已知笔记本每本2元，1支钢笔5元，自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了。售货员要小兵付18元。小兵马上说售货员把帐算错了，你知道为什么吗？

解：买自动铅笔和橡皮一共用了18-(2×3+5×1)=7(元)，因为买了2只铅笔和4块橡皮，所以买的总数是3的倍数，总钱数也应该能被3整除，但7不能被3整除，故小兵马上说售货员把帐算错了。

例题6、一个六位数85?56?能被45整除，这个数除以5所得的商是多少？ 解：因为45=5×9，5和9互质，所以85?56?能被45整除，也就是能同时被5和9整除。那么因为85?56?能被5整除，个位只能是0或5。如果末尾是0的话，那么85?560能被9整除，得到8+5+○+5+6+0=24+○能被9整除，所以○只能填3，这个数字是853560；如果末尾是5的话，同理，得到8+5+○+5+6+5=29+○能被9整除，所以○只能填7，这个数字是857565。所以有两个数满足，853560÷5=170721，857565÷5=171513。

试一试6、一个五位数7?57?能被72整除，这个数除以8所得的商是多少？ 解：因为72=8×9，8和9互质，所以7?57?能被72整除，也就是能同时被8和9整除。那么因为7?57?能被8整除，末三位57?肯定能被8整除，所以这个数末尾是6，又因为7?576能被9整除，所以有7+○+5+7+6=25+○能被9整除，所以○只能填2，这个数字是72576；72576÷8=9072。

例题7、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数中选出4个不同数字，组成一个四位数，使它能同时被2、3、5、7整除，这个数最大是几？

解：因为这个数同时能被2、3、5、7整除，且2、3、5、7两两互质，所以这个数能被他们的最小公倍数2×3×5×7=210整除，要最大的四位数，所以先用10000÷210≈47.619，故可以从47往下试乘，210 ×47=9870，满足题意不同的数字，故这个数最大是9870。

试一试7、从从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数中选出4个不同数字，组成一个四位数，使它能同时被3、7、9整除，这个数最大是几？

解：因为这个数同时能被3、7、9整除，也就是能同时被7,、9整除(因为能被9整除，肯定能被3整除)，所以这个数能被9×7=63整除，（同例七3、7、9的最小公倍数是63），要最大的四位数，所以先用10000÷63≈158.73，故可以从158往下试乘，63 ×158=9954，不满足题意不同的数字，故接着算63×157=9891也不行，63×156=9828，63×155=9765，满足题意，故这个数最大是9765。

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五年级思维提升训练Q（二）

例题8、学期结束时，老师买了72练习本48支笔57块橡皮，将它们平分给每个三好学生，余下的练习本数是橡皮数的3倍，余下的笔的支数是橡皮数的2倍。求一共有多少名三好学生？

解：设余下的橡皮数量是a，有x名三好学生，则笔是2a，练习本是3a，那么有72-3a，48-2a，57-a 分别能被x整除，所以48-2a+57-a-(72-3a)=33能被x整除，因为33=3×11，所以三好学生数可能是3或 11，但如果是3的话，橡皮可以刚好分尽，不符合题意，所以三好学生有11名，经检验是正确的。

试一试8、幼儿园张老师把60块饼干，38块糖和15个苹果平均分给第一小组的每位小朋友，余下的饼干是余下的苹果数的4倍，余下的糖是余下的苹果数的3倍。求第一小组一共有几位小朋友？ 解：设余下的苹果数量是a，有x位小朋友，则余下的糖是3a，余下的饼干是是12a，那么有60-12a，38-3a，15-a分别能被x整除，所以38-3a+15-a-(60-12a)÷3=33能被x整除，因为33=3×11，所以三好学生数可能是3或11，同理排除3，故一共有11位小朋友。

例题9、某七位数1997???能被4、5、6整除，那么最后三个?中三位数字的和最小值可能是几？ 解：因为能被4、5、6整除，就是能被他们的最小公倍数60整除，又因为60=3×4×5，所以这个数能同时被3、4、5整除，所以个位是0，十位是偶数，因为要数字之和最小，所以可以填0，这样的话七位数变成1997?00因为能被3整除，所以1+9+9+7+○+0+0=26+○，所以○最小可以填1。所以三位数字的和最小值可能是1。

试一试9、在358后面补上三个数码组成的一个六位数，使得它分别能被3、4、5整除，这样的六位数的最小值是多少？

解：因为这个数能被4、5整除，所以个位是0，十位是偶数，又因为能被3整除，所以3+5+8+百位+十位+0=16+百位+个位能被3整除，因为要最小，所以取18先试，即十位+百位=2，又因为十位是偶数，所以取2，则百位取0，所以这样的六位数最小值是358020。

综合训练

1、下面那些数能被8或125整除？ 2616、1875、1448、5525、1848、2500、46375 解：能被8整除的有：2616、1448、1848；能被125整除的有2500。 2、在?里填上适合的数，使五位数2?10?，能同时被8和9整除？ 解：能被8整除看末三位10?能被8整除，所以括号里得填4，又因为能被9整除，所以2+1+0+4+○=7+○能被9整除，所以填2，故这个五位数是22104。

3、1000个连续自然数的积是奇数还是偶数？为什么？ 解：必须偶数，因为任何自然数乘偶数的积是偶数。

4、数列1、2、5、13、34、89??的排列规律是这样的，从第二个开始，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和。问这个数列的第100个数是奇数还是偶数？ 解：经过观察可以发现，数字的奇偶性是：，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇??，周期为3，100÷3=33?1，所以这个数列的第100个数是奇数。

5、商店有六箱货物，分别种18，19，16，15，31，20千克，两个顾客买其中的五箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，问商店剩下的一箱货物重多少千克？

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五年级思维提升训练Q（二）

解：由题意知两个顾客一共买的货物的重量是3的倍数，也就是能被3整除，又因为18+19+16+15+31+20=119,119÷3=39?2所以剩下的这一箱货物一定是被3除余2，也就是各个数位数字之和是3的倍数加2，经过计算发现只有20符合，所以商店剩下的一箱货物重20千克。

6、一个六位数87?56?能被55整除，这个数除以11所得的商是多少？

解：因为55=5×11，所以这个六位数个位是0或5，当末尾是0，奇数位数字之和为12，偶数位数字之和为14+○，然后作差（大减小），14+○-12=2+○，能被11整除，所以填9；同理，当末尾是5，14+○-17能被11整除，所以填3。所有有两个数字879560÷11=79960，873565÷11=79415。

7、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数中选出5个不同的数字，组成一个五位数，若它能同时被3，5，7，13整除。这个数最大是几？

解：因为能同时被3、5、7、13整除，且两两互质，所以这个五位数也能被3×5×7×13=1365，又因为要最大的五位数，所以用100000÷1365≈73.26，从73开始试，1365×73=99645，不符合题意的不同数字，所以接着试1365×72=98280,1365×71=96915，1365×70=95550，1365×69=94185，符合题意，所以这个数最大是94185。

8、某车间接到加工任务，要求加工甲种零件269个，乙种零件201个，丙种零件211个。现在将这些任务平均分给每位工人，余下的零件，甲种是丙种的3倍，乙种是丙种的2倍，这个车间有多少位工人？ 解：设余下丙种零件a，则余下乙种零件2a，余下甲种零件3a，有x位工人，那么有269-3a，201-2a，211-a分别能被x整除，那么201-2a+211-a-(269-3a)=143也能被x 整除，又因为143=11×13，所以x可能是11或13，当x是11时，代进去发现不满足题意，舍去，当x是13时，代进去发现满足题意，所以这个车间有13个工人。

9、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2，3，5，11整除，这个七位数最小是多少？ 解：因为这个7位数能被2,3,5,11整除，且两两互质，所以这个数能被2×3×5×11=330整除， 因为要最小，所以用1992000÷330≈6036.37，所以可以用6037×330=1992210，所以这个七位数最小是1992210。

考查训练

1、判断789646能不能被7或11或13整除？

解：因为789-646=143,经过计算143能被11,13整除，不能被7整除，所以这个数789646能被11和13整除，不能被7整除。

2、在?内填上合适的数，使五位数7?36?既能被5整除，也能被9整除？

解：能被5整除，末尾是0或5，当末尾是0，7+○+3+6+0=16+○能被9整除，所以○填2，；当末尾是5，7+3+6+5+○能被9整除，填6；所以一共有两个数字满足题意，分别是72360和76365。

3、1×2＋3×4＋5×6＋??＋199×200的结果是奇数还是偶数？

解：任何自然数×偶数=偶数，偶数+偶数=搜书，所以结果是偶数。

4、数列1、4、13、40、121、??的排列规律是这样的，从第二个数开始，每个数都比以前一个数的3倍多1，求这个数列的前100个数的和是奇数还是偶数？

解： 因为奇数乘以3倍加1就变成了偶数，偶数乘以3倍加1就变成了奇数，所有这个数列是：奇、偶、奇、偶、奇、偶，故，所以50个奇数之和是偶数，50个偶数之和也是偶数，则最后的数列的和是偶数。

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五年级思维提升训练Q（二）

.5、琳琳买了三支铅笔，2支圆珠笔，6本练习本和12块橡皮。已知铅笔5角一支，圆珠笔1元一支，其余单价琳琳记不清了。营业员要琳琳共付14元5角。请问营业员的帐算错了没有？为什么？

解：练习本和橡皮一共用了14.5-（0.5×3+1×2）=11元，又因为练习本和橡皮的数量都是三的倍数，所以总钱数也是3的倍数，故11不符合，所以营业员确实算错了。

6、一个五位数3?29?能被44整除，这个数除以11所得的商是多少？

解：44=4×11，能被4整除，所以末尾是2或6，当末尾是2，千位上是9；当末尾是6，千位上是2，所有有两个数39292÷11=3572，32296÷11=2936。，

7、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这是个数中，选出5个不同的数字，组成一个五位数，使它能同时被5，7，9，11整除，这个五位数最大是多少？

解：因为能被5,7,9,11整除，且互质，所以这个五位数能被5×7×9×11=3465，要求五位数最大，所以用100000÷3465≈28.86，所以先用28试乘，3465×28=97020，不符合，接着3465×27=93555，3465×26=90090 ，3465×25=86625，3465×24=83160，符合，故这个五位数最大是83160。

8、有红球41个，黄球61个，白球57个，把它们平均分给几个小朋友，剩下的红球是白球的6倍，剩下的黄球是白球的5倍，求共有几个小朋友？

解：设剩下的白球是a，剩下的黄球是5a，剩下的红球是6a，有x个小朋友，则57-a，61-5a，41-6a都能被x整除，则57-a+61-5a-(41-6a)=76，故76也能被x整除，76=4×19，4和19互质（不能写成76=2×2×19），所以可能有4个或19个小朋友，当小朋友是4个话，发现不满足题意，所以共有19个小朋友。

9、在所有各位数字之和等于34，且能被11整除的四位数中最大的一个与最小的一个相差多少？

解：因为所有各位数字之和等于34，所以各个数位上只能是9,9,8,8四个数字，又因为能被11整除，所以奇数位上的数字和与偶数位上的数字和是11的倍数，总和前面只能是0，所以奇数位上的数字和偶数位上的数字相等，都是34+2=17，所以最大是9988，最小是8899，相差是9988-8899=1089。

第五讲 分解质因数

在一个自然数的因数中，是质数的因数叫做这个自然数的质因数。例如，5和7都是35的因数，这两个数本身又都是质数，所以5和7都是35的质因数。

再如，4和5都是20的因数，但4不是质数，而5是质数，所以4不是20的质因数，而5是20的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫做分数质因数。如30=2×3×5，24=2?3

在许多的数学问题的解答过程中，常常要先把一个数分解质因数，以便于已知数与未知数之间的关系，从而使问题得到解决，常用的分析方法有以下几种：

1、如果已知几个数的积要求这几个数可以把原数分解质因数，然后再根据题目的要求，将这些质因数重新组合成符合条件的几个数;

2、如果给出几个数，要将它们分成几组，使每个组中几个数的乘积相等，通常要先把这几个数分别分解质因数，然后对所有质因数进行分组，使得每组中各个质因数的个数都对应相等；

3、如果要求一个合数的约数共有多少个，可以把这个合数分解质因数，然后将相同质因数的个数加上1再相乘即可；

4、要求一个连乘算式的积的末尾有几个连续的0，可以找出算式各乘数中所含有的质因数2和5各有多少

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