人教A版必修5《不等式》教材分析与教学建议

1．课程目标

不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。不等关系在现实世界和日常生活中大量存在，任何人都需要对发生在我们周围的事物作出某种判断，判断有时需借助于量与量的比较来实现，这就是不等关系在本章的地位与作用。

在本章中，学生将通过具体情境感受不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。我们将重点研究一元二次不等式、二元一次不等式（组）、基本不等式三种不等式模型，在了解不等式实际背景的前提下，重点研究不等式的应用。

2．课标内容

(1) 不等关系：通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中大量存在的数量关系，了解不等式（组）

的实际背景，了解不等式的一些基本性质。

(2) 一元二次不等式：经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程；通过函数图象了解一

元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。

(3) 二元一次不等式组与简单线性规划问题：从实际情景中抽象出二元一次不等式组；了解二元一

次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

(4)基本不等式：探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单最值问题。

3．教学要求

3.1基本要求

（1）了解不等式（组）的实际背景；

（2）理解不等式（组）对于刻划不等关系的意义和价值；

（3）会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，能用不等式（组）研究含有不等关系的实际问题；

（4）了解从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程； （5）理解一元二次不等式的概念；

（6）理解并掌握一元二次不等式、二次函数及一元二次方程之间的关系； （7）理解并掌握解一元二次不等式的过程； （8）会求一元二次不等式解集；

（9）掌握求解一元二次不等式的程序框图及隐含的算法思想； （10）了解从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）模型的过程； （11）理解二元一次不等式（组）、二元一次不等式（组）的解集的概念；

（12）了解二元一次不等式的几何意义，理解（区域）边界的概念及实线、虚线边界的含义； （13）会用二元一次不等式（组）表示平面区域，能画出给定的不等式（组）表示的平面区域； （14）了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行解、可行域、最优解的概念； （15）掌握简单的二元线性规划问题的解法；

（16）了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程； （17）理解算术平均数，几何平均数的概念；

（18）会用基本不等式解决简单的最大（小）值的问题； （19）通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值。

3.2发展要求

（1）理解并掌握不等式的基本性质；

（2）体会不等式的基本性质在不等式证明中所起的作用； （3）一元二次不等式解法能应用；

（4）能把一些简单的实际问题转化成二元线性规划问题并加以解决。

3.3说明

（1）一元二次不等式的求解只要求达到基本要求即可；

（2）淡化解不等式的技巧性要求，突出不等式的实际背景及其应用； （3）能把一些实际问题转化成二元线性规划问题并能加以解决；

（4）突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形。

4．纲标比较

4.1章节、课时比较

教学大纲 数学第二册（上）第六章不等式（16课时） 6.1不等式的性质(3课时) 6.2算术平均数与几何平均数(2课时) 6.3不等式的证明(5课时) 6.4不等式解法举例(2课时) 6.5含有绝对值的不等式(2课时) (阅读材料) 小结与复习(2课时) 数学第二册（上）第七章 直线和圆的方程 7.4简单的线性规划(3课时) (研究性课题与实习作业) 课程标准 数学5第3章不等式（16课时） 3.1 不等关系与不等式(含不等式性质)(2课时) 3.2 一元二次不等式及其解法(3课时) 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域 (2课时) 3.3.2简单的线性规划问题(3课时) (阅读与思考) (信息技术应用) 3.4 基本不等式(3课时) 小结与复习(3课时) 4.2内容主要变化

原大纲教材中，一元二次不等式安排在“集合与简易逻辑”之后，是学生刚步入高一就要学习的内容，而课标教材则安排在模块5中，意图在高二（上）学习，简单的线性规划问题从解析几何《直线和圆的方程》中移到模块5的不等式中，与二元一次不等式组成一个单元。不等式内容进一步整编，删除一元高次、分式不等式，把不等式证明后移到选修中，基本不等式则控制难度,只用于解决求最值问题。 4.3几个特点

①内容安排上的特点

把简单的线性规划和不等式放在一起，将线性规划问题作为不等式来处理，突出了不等式的几何意义以及在解决优化问题中的作用，有利于理解不等式的本质，体现优化思想。

②教学要求上的特点

在不等式求解方面，《课标》对学生的基本要求进一步弱化，在大纲教材删除了指、对数不等式和无理不等式的基础上，又删除了分式不等式、一元高次不等式求解，将绝对值不等式移至选修4-5(不等式选讲)；不等式证明采取分步到位、螺旋上升的做法，由于选修4-5不作高考要求（但是为学业考试内容），其基本要求是降低的。但在选修1-2（文科必选）、选修2-2（理科必选）的推理与证明中，均提出用综合法与分析法证明不等式。在选修4-5中，介绍了不等式证明的常用方法—比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，进一步介绍了柯西不等式、排序不等式、均值不等式及其应用，还介绍了数学归纳法与贝努利不等式。二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题学习要求基本不变。

③教学价值上变化

不等式是原教材中的一个重点和难点，是培养学生思维能力和推理能力的一个很好素材，所以它强调理论叙述、推理严密、变化技巧，而《课标》则更加关注不等式的背景和实际应用，把不等式作为刻画现实世界中不等关系的数学工具，作为描述优化问题的一种数学模型，而不再把重点放