（1）将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°，得到线段AE，连结EC．

（2）先判定△ABD≌△ACE，即可得到?B??ACE，再根据?B??ACB??ACE?45?，即可得出

?ECD??ACB??ACE?90?；

（3）连接DE，由于△ADE为等腰直角三角形，所以可求DE?2；由?ADF?60?，?CAE?7.5? ，

可求?EDC的度数和?CDF的度数，从而可知DF的长；过点A作AH?DF于点H，在Rt△ADH中，由?ADF?60?，AD=1可求AH、DH的长；由DF、DH的长可求HF的长；在Rt△AHF中，由AH和HF，利用勾股定理可求AF的长． 【详解】 解：?1?如图，

?2?Q线段AD绕点A逆时针方向旋转90o，得到线段AE．

??DAE?90o，AD?AE， ??DAC??CAE?90o． Q?BAC?90o，

??BAD??DAC?90o．

??BAD??CAE，

在VABD和VACE中

?AB?AC???BAD??CAE， ?AD?AE?ACE?SAS?． ?VABD≌V??B??ACE，

QVABC中，?A?90o，AB?AC，

??B??ACB??ACE?45o． ??ECD??ACB??ACE?90o；

?3?Ⅰ.连接DE，由于VADE为等腰直角三角形，所以可求DE?2；

Ⅱ.由?ADF?60o，?CAE?7.5o，可求?EDC的度数和?CDF的度数，从而可知DF的长； Ⅲ.过点A作AH?DF于点H，在RtVADH中，由?ADF?60o，AD?1可求AH、DH的长； Ⅳ.由DF、DH的长可求HF的长；

Ⅴ.在RtVAHF中，由AH和HF，利用勾股定理可求AF的长． 故答案为（1）见解析；（2）90°；（3）解题思路见解析. 【点睛】

本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质的运用，解题的关键是要注意对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．

12523．（1）二次函数的关系式为y＝?x?x?2；C（1，0）；（2）当m＝2时，PD＋PE有最大值3；（3）

22点M的坐标为（【解析】 【分析】

（1）先求出A、B的坐标，然后把A、B的坐标分别代入二次函数的解析式，解方程组即可得到结论； （2）先证明△PDE∽△OAB，得到PD＝2PE．设P（m，?＋PE＝3PE，然后配方即可得到结论．

（3）分两种情况讨论：①当点M在在直线AB上方时，则点M在△ABC的外接圆上，如图1．求出圆心O1的坐标和半径，利用MO1=半径即可得到结论．

②当点M在在直线AB下方时，作O1关于AB的对称点O2，如图2．求出点O2的坐标，算出DM的长，即可得到结论． 【详解】 解：（1）令y＝

51521，）或（，?）．

22221251m?m?2），则E（m，m?2），PD

2221x?2＝0，得：x＝4，∴A（4，0）． 2令x＝0，得：y＝－2，∴B（0，－2）．

12∵二次函数y＝?x?bx?c的图像经过A、B两点，

25?b＝??8?4b?c＝0?∴?，解得：?2，

c＝?2???c＝?2125∴二次函数的关系式为y＝?x?x?2．

22125令y＝?x?x?2＝0，解得：x＝1或x＝4，∴C（1，0）．

22（2）∵PD∥x轴，PE∥y轴， ∴∠PDE＝∠OAB，∠PED＝∠OBA，

PDOA4＝＝＝2， PEOB2125∴PD＝2PE．设P（m，?m?m?2），

221则E（m，m?2）．

212513322∴PD＋PE＝3PE＝3×[(?m?m?2)－(m?2)]＝?m?6m＝??m?2??6．

22222∴△PDE∽△OAB．∴

∵0＜m＜4，∴当m＝2时，PD＋PE有最大值3．

（3）①当点M在在直线AB上方时，则点M在△ABC的外接圆上，如图1． ∵△ABC的外接圆O1的圆心在对称轴上，设圆心O1的坐标为（

225，－t）． 22?5??5?∴????2?t?＝??1??t2，解得：t＝2，

?2??2?∴圆心O1的坐标为（

55，－2），∴半径为． 22设M（

555，y）．∵MO1=，∴y?2?，

222151，∴点M的坐标为（，）． 222解得：y=

②当点M在在直线AB下方时，作O1关于AB的对称点O2，如图2． ∵AO1＝O1B＝

5，∴∠O1AB＝∠O1BA．∵O1B∥x轴，∴∠O1BA＝∠OAB， 23，0），∴O2D＝1， 2∴∠O1AB＝∠OAB，O2在x轴上，∴点O2的坐标为 （

552121∴DM＝()2?12＝，∴点M的坐标为（，?）．

2222综上所述：点M的坐标为（

51521，）或（，?）．

2222

点睛：本题是二次函数的综合题．考查了求二次函数的解析式，求二次函数的最值，圆的有关性质．难度比较大，解答第（3）问的关键是求出△ABC外接圆的圆心坐标． 24．（1）证明见解析；（2）；

【解析】 【分析】

（1）先利用切线的性质得出∠CAD+∠BAD=90°，再利用直径所对的圆周角是直角得出∠B+∠BAD=90°，从而可证明∠B=∠EAD，进而得出∠EAD=∠CAD，进而判断出△ADF≌△ADC，即可得出结论；（2）过点D作DG⊥AE，垂足为G．依据等腰三角形的性质可得到EG=AG=1，然后在Rt△GEG中，依据锐角三角函数的定义可得到DG的长，然后依据勾股定理可得到AD=ED=2，然后在Rt△ABD中，依据锐角三角函数的定义可求得AB的长，从而可求得⊙O的半径的长． 【详解】

（1）∵AC 是⊙O 的切线， ∴BA⊥AC，

∴∠CAD+∠BAD=90°， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠B+∠BAD=90°， ∴∠CAD=∠B， ∵DA=DE， ∴∠EAD=∠E， 又∵∠B=∠E， ∴∠B=∠EAD， ∴∠EAD=∠CAD，

在△ADF和△ADC中，∠ADF=∠ADC=90°，AD=AD，∠FAD=∠CAD， ∴△ADF≌△ADC， ∴FD=CD．

（2）如下图所示：过点D作DG⊥AE，垂足为G．

∵DE=AE，DG⊥AE，