第一章、函数、极限和连续（约20%）

一、函数

（一）．理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会作出一些简单的分段函数图像。

1、函数的概念：

设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于给定的每个数x?D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y?f(x)，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。y的取值范围叫函数的值域。已知函数

f(x)的定义域，求函数f(g(x))的定义域。

2、定义域的求法原则

（1）分母不为零 （2）x，x?0 （3）lnx,x?0 （4）arcsinx,arccosx,?1?x?1

（5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集 例1、 求的定义域：（1）y?4?x2?ln?x2?1?

（2） y?1+x?ln?4?x??（3）y?【提升】

1 x?3x2?4?1 x?1例2、 当0?x?1是函数f(x)的定义域，求f(sin2x)的定义域。 例3、当0?x?4是函数f(x?2x?4)的定义域，求f(x)的定义域。

3、表达式、函数值

例4、下列各对函数中，两个函数相等的是 ———————————（ ） A．y?2xln(1?x)ln(1?x)2y?lnx与 B．与g?2lnx g?2xx2C．y?1?sinx与g?cosx D．y?x(x?1)与g?x?x?1 例5、（1）设f()?x?1?x(x?0)，则f(x)=______________

（2）设f(e)?x?1，则f(x) =______________

1

x1x2（3）若y??【提升】

?sinx2?x?1?2?x?00?x?2，则y()=______________

?2例6（1）已知f(x)?e，f(g(x))?1?x，且g(x)?0，求g(x)和定义域 （2）已知f(x)?sinx，f(g(x))?1?x，求g(x)和定义域 4、简单的分段函数图像

2x2?1,x?0?（1） sgnx??0,x?0，（符号函数）

??1,x?0?（2）取整函数 例如 y??x?

（二）．掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。 1.有界性

设f为定义在Ｄ上的函数．若存在正数Ｍ，使得对每一个x?D有|f(x)|?M，称f为Ｄ上的有界函数．

（１）几何意义：f为Ｄ上的有界函数，则f的图象完全落在y?M和y??M之间； （２）f在Ｄ上有界?f在Ｄ上既有上界又有下界；例子：y?sinx,y?cosx； 例１．函数f(x)?sinx在(??,??)内有界。 例２．函数f(x)?2．函数的单调性

定义 设f为定义在Ｄ上的函数，?x1,x2?D,x1?x2,

（１）若f(x1)?f(x2)，则称f为Ｄ上的增函数；若f(x1)?f(x2)，则称f为Ｄ上的严格增函数．

（２）若f(x1)?f(x2)，则称f为Ｄ上的减函数；若f(x1)?f(x2)，则称f为Ｄ上的严格减函数．

例３．讨论函数y?f(x)?2x?1的单调性。 例４．证明：f(x)?21为(0,1)内无界。 xx在(0,??)上是单调增加的。

注：１）单调性与所讨论的区间有关．在定义域的某些部分，f可能单调，也可能不

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单调．所以要会求出给定函数的单调区间；

２）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于x轴的部分．更准确地

讲：严格单调函数的图象与任一平行于x轴的直线至多有一个交点．这一特征保证了它必有反函数． 3．函数的奇偶性

定义. 设Ｄ为对称于原点的数集，f为定义在Ｄ上的函数．若对每一个x?D有 （１）f(?x)??f(x)，则称f为Ｄ上的奇函数； （２）f(?x)?f(x)，则称f为Ｄ上的偶函数．

注：（１）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于y轴对称；

（２）奇偶性的前提是定义域对称，因此f(x)?x,x?[0,1]没有必要讨论奇偶性．

??奇函数:y=sinx??（３）从奇偶性角度对函数分类：?； 偶函数:y=sgnx?非奇非偶函数:y=sinx+cosx??既奇又偶函数:y?0?（４）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右

边即可．

例5．讨论函数y?f(x)?x?2x的奇偶性。 例6．讨论函数y?f(x)?loga(x?42x2?1)的奇偶性。

例7．设f(x)是定义在(?l,l)上的任意函数，试证 （1）f(x)?f(?x)是偶函数；

（2）f(x)?f(?x)是奇函数。

4．函数的周期性

1、定义：设f为定义在数集Ｄ上的函数，若存在??0，使得对一切x?D有

f(x??)?f(x)，则称f为周期函数，?称为f的一个周期．

2、几点说明：

（1）若?是f的周期，则n?(n?N?)也是f的周期，所以周期若存在，则不唯一．如

y?sinx,??2?,4?,?．因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数f的所

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有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f的“基本周期”，简称“周期”．（2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，

如：１）y?x?1，不是周期函数；

２）y?C（Ｃ为常数），任何正数都是它的周期．

【综合】、设函数f(x)的定义域是全体实数，则函数f(x)?f(?x)是———（ ） A．单调减函数 B．偶函数 C．有界函数 D．周期函数

（三）．理解函数y =?(x)与其反函数y =?(x)之间的关系(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数。

1、设函数y?f(x),x?D．满足：对于值域f(D)中的每一个值y，Ｄ中有且只有一个值x，使得f(x)?y，则按此对应法则得到一个定义在f(D)上的函数，称这个函数为f的反函数，记作f注释

a) 并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数f有反函数，意味着f是Ｄ与

?1-1

:f(D)?D,(y|?x)或x?f?1(y),y?f(D).

f(D)之间的一个一一映射，称f?1为映射f的逆映射，它把f(D)?D；

b) 函数f与f?1互为反函数，并有:f?1?1(f(x))?x,x?D, f(f?1(x))?y,y?f(D).

c) 在反函数的表示x?f(y),y?f(D)中，是以y为自变量，x为因变量. 若按习惯做

?1法用x做为自变量的记号，y作为因变量的记号，则函数f的反函数f可以改写为

y?f?1(x),x?f(D).

2、求反函数

1?2x例1、（1）y?（2）y??x?1 1?2x（四）．掌握函数的四则运算与复合运算; 掌握复合函数的复合过程。

例1、分解复合过程： （1）y?sin（5）y?e

tan1； （2）y?lnx； （3）y?ex1xx； （4）y?cosx；

x32；（6）y?arctanx；（7）y?lnarcsine；（8）y?sin(2x?1)；

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