∵AE是切线， ∴OA⊥AE， ∴∠E+∠AOE=90°， ∴∠E=∠CAB， ∴△EAD∽△ABC， ∴AE：AB=AD：BC， ∴AE?BC=AD?AB．

（2）解：作DM⊥AB于M， ∵半圆O的直径为10，sin∠BAC=， ∴BC=AB?sin∠BAC=6， ∴AC=∵OE⊥AC，

∴AD=AC=4，OD=BC=3， ∵sin∠MAD=∴DM=

=，

=

=

，BM=AB﹣AM=

，

=8，

，AM=

∵DM∥AE， ∴

=

， ．

∴AF=

6. （2016·四川广安·8分）在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行．画四种图形，并直接写出其周长（所画图象相似的只算一种）．

【考点】作图—相似变换．

【分析】在图1中画等腰直角三角形；在图2、3、4中画有一条直角边为边分别为3

，4

，2

，另一条直角

的直角三角形，然后计算出四个直角三角形的周长．

+

；

【解答】解：如图1，三角形的周长=2如图2，三角形的周长=4如图3，三角形的周长=5如图4，三角形的周长=3

+2++

； ； ．

7. （2016·四川凉山州·8分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线交于点F、E，且（1）求证：△ADC∽△EBA；

（2）如果AB=8，CD=5，求tan∠CAD的值．

．

的中点，AE

【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．

【分析】（1）欲证△ADC∽△EBA，只要证明两个角对应相等就可以．可以转化为证明且

就可以；

（2）A是

的中点，的中点，则AC=AB=8，根据△CAD∽△ABE得到∠CAD=∠AEC，

求得AE，根据正切三角函数的定义就可以求出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠CDA=∠ABE． ∵

，

∴∠DCA=∠BAE． ∴△ADC∽△EBA；

（2）解：∵A是∴

的中点，

∴AB=AC=8， ∵△ADC∽△EBA， ∴∠CAD=∠AEC，即∴AE=

， ，

，

∴tan∠CAD=tan∠AEC=

==．

8.(2016福州，25,10分)如图，AB=AC=1，BC=在△ABC中，连接BD．

（1）通过计算，判断AD2与AC?CD的大小关系； （2）求∠ABD的度数．

，在AC边上截取AD=BC，

【考点】相似三角形的判定．

【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC?CD的值，从而可得到AD2与AC?CD的关系；

（2）由（1）可得到BD2=AC?CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数． 【解答】解：（1）∵AB=BC=1，BC=∴AD=∴AD2=

∴AD2=AC?CD．

（2）∵AD=BD，AD2=AC?CD， ∴BD2=AC?CD，即又∵∠C=∠C， ∴△BCD∽△ABC． ∴

，∠DBC=∠A．

．

，DC=1﹣

=

=

．

=

．

，

，AC?CD=1×

∴DB=CB=AD．

∴∠A=∠ABD，∠C=∠D．

设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x． ∵∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴x+2x+2x=180°． 解得：x=36°． ∴∠ABD=36°．

【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．