∴△DCE∽△DBF， ∴

=

，设EC=CF=x，

∴=，

∴x=∴CE=

． ．

【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．

4. (2016·四川自贡)已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处

（Ⅰ）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边CD的长．

（Ⅱ）如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF的长度．

【考点】几何变换综合题．

【分析】（1）先证出∠C=∠D=90°，再根据∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可证出△OCP∽△PDA；

根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，求出x，最后根据AB=2OP即可求出边AB的长；

（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ=PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，

再求出EF=PB，由（1）中的结论求出PB=，最后代入EF=PB即可得出

线段EF的长度不变

【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=∠D=90°， ∴∠1+∠3=90°，

∵由折叠可得∠APO=∠B=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠2=∠3， 又∵∠D=∠C， ∴△OCP∽△PDA；

∵△OCP与△PDA的面积比为1：4， ∴

∴CP=AD=4，

设OP=x，则CO=8﹣x， 在Rt△PCO中，∠C=90°，

，

由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42， 解得：x=5， ∴AB=AP=2OP=10， ∴边CD的长为10；

（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2， ∵AP=AB，MQ∥AN， ∴∠APB=∠ABP=∠MQP． ∴MP=MQ， ∵BN=PM， ∴BN=QM．

∵MP=MQ，ME⊥PQ， ∴EQ=PQ． ∵MQ∥AN， ∴∠QMF=∠BNF， 在△MFQ和△NFB中，

，

∴△MFQ≌△NFB（AAS）． ∴QF=QB，

∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，

由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°， ∴PB=∴EF=PB=2

，

．

，

∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2

【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的 判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等和相似的三角形．5. （2016·四川达州·8分）如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F． （1）求证：AE?BC=AD?AB；

（2）若半圆O的直径为10，sin∠BAC=，求AF的长．

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义． 【分析】（1）只要证明△EAD∽△ABC即可解决问题． （2）作DM⊥AB于M，利用DM∥AE，得【解答】（1）证明：∵AB为半圆O的直径， ∴∠C=90°， ∵OD⊥AC，

∴∠CAB+∠AOE=90°，∠ADE=∠C=90°，

=

，求出DM、BM即可解决问题．