【分析】根据菱形的性质得到AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，推出△ADG≌△CDG，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）由全等三角形的性质得到∠EAG=∠DCG，等量代换得到∠EAG=∠F，求得△AEG∽△FGA，即可得到结论．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB， ∴∠F∠FCD， 在△ADG与△CDG中，∴△ADG≌△CDG， ∴∠EAG=∠DCG， ∴AG=CG；

（2）∵△ADG≌△CDG， ∴∠EAG=∠F， ∵∠AGE=∠AGE， ∴△AEG∽△FGA， ∴

，

，

∴AG2=GE?GF．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．

2. （2016·湖北黄冈）（满分8分） 如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一

点，PC是⊙O的切线，切点为C. 过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC. 求证： （1）∠PBC =∠CBD; （2）BC=AB·BD D C

2

P A O B

【考点】切线的性质，相似三角形的判定和性质.

【分析】（1）连接OC，运用切线的性质，可得出∠OCD=90°，从而证明OC∥BD，得到∠CBD=∠OCB，再根据半径相等得出∠OCB=∠PBC，等量代换得到∠PBC =∠CBD.

（2）连接AC. 要得到BC=AB·BD，需证明△ABC∽△CBD，故从证明∠ACB=∠BDC，

∠PBC=∠CBD入手.

【解答】证明：（1）连接OC， ∵PC是⊙O的切线，

∴∠OCD=90°. ……………………………………………1分 又∵BD⊥PC

∴∠BDP=90° ∴OC∥BD. ∴∠CBD=∠OCB. ∴OB=OC . ∴∠OCB=∠PBC.

∴∠PBC=∠CBD. ………………………………………..4分

D

C

P A O B

（2）连接AC. ∵AB是直径，

2

（第2题）

∴∠BDP=90°. 又∵∠BDC=90°， ∴∠ACB=∠BDC. ∵∠PBC=∠CBD,

∴△ABC∽△CBD. ……………………………………6分

BCAB∴BC=BD.

∴BC=AB·BD. ………………………….……………8分

D C

P A O B

3．（2016·湖北十堰）如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C． （1）求证：∠ACD=∠B；

（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F； ①求tan∠CFE的值；

②若AC=3，BC=4，求CE的长．

2

【考点】切线的性质．

【分析】（1）利用等角的余角相等即可证明． （2）①只要证明∠CEF=∠CFE即可．

②由△DCA∽△DBC，得===，设DC=3k，DB=4k，由CD=DA?DB，得9k=（4k﹣5）

=

，设EC=CF=x，列出方程即可解决问

22

?4k，由此求出DC，DB，再由△DCE∽△DBF，得题．

【解答】（1）证明：如图1中，连接OC． ∵OA=OC， ∴∠1=∠2， ∵CD是⊙O切线， ∴OC⊥CD， ∴∠DCO=90°， ∴∠3+∠2=90°， ∵AB是直径， ∴∠1+∠B=90°， ∴∠3=∠B．

（2）解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB， ∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B， ∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°， ∴∠CEF=∠CFE=45°， ∴tan∠CFE=tan45°=1． ②在RT△ABC中，∵AC=3，BC=4， ∴AB=

=5，

∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B， ∴△DCA∽△DBC， ∴

=

=

=，设DC=3k，DB=4k，

∵CD2=DA?DB， ∴9k2=（4k﹣5）?4k， ∴k=∴CD=

， ，DB=

，

∵∠CDE=∠BDF，∠DCE=∠B，