19．（2016?呼和浩特）如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线

于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC． （1）求证：∠FBC=∠FCB；

（2）已知FA?FD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长．

【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心．

【分析】（1）由圆内接四边形的性质和邻补角关系证出∠FBC=∠CAD，再由角平分线和对顶角相等得出∠FAB=∠CAD，由圆周角定理得出∠FAB=∠FCB，即可得出结论； （2）由（1）得：∠FBC=∠FCB，由圆周角定理得出∠FAB=∠FBC，由公共角∠BFA=∠BFD，证出△AFB∽△BFD，得出对应边成比例求出BF，得出FD、AD的长，由圆周角定理得出∠BFA=∠BCA=90°，由三角函数求出∠FBA=30°，再由三角函数求出CD的长即可． 【解答】（1）证明：∵四边形AFBC内接于圆， ∴∠FBC+∠FAC=180°， ∵∠CAD+∠FAC=180°， ∴∠FBC=∠CAD，

∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线， ∴∠EAD=∠CAD， ∵∠EAD=∠FAB， ∴∠FAB=∠CAD， 又∵∠FAB=∠FCB， ∴∠FBC=∠FCB；

（2）解：由（1）得：∠FBC=∠FCB，

又∵∠FCB=∠FAB， ∴∠FAB=∠FBC， ∵∠BFA=∠BFD， ∴△AFB∽△BFD， ∴

，

∴BF2=FA?FD=12， ∴BF=2∵FA=2， ∴FD=6，AD=4， ∵AB为圆的直径， ∴∠BFA=∠BCA=90°， ∴tan∠FBA=∴∠FBA=30°，

又∵∠FDB=∠FBA=30°， ∴CD=AD?cos30°=4×

=2

．

=

=

，

，