∴存在点D，使△DO′E与△COO′相似，这时k=﹣，b=1．

15．（2016.山东省泰安市）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中点，AD⊥AE．

（1）求证：AC2=CDBC；

（2）过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK=EB．

①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FH⊥GH； ②若∠B=30°，求证：四边形AKEC是菱形．

【分析】（1）欲证明AC2=CDBC，只需推知△ACD∽△BCA即可；

（2）①连接AH．构建直角△AHC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰对等角以及等量代换得到：∠FHG=∠CAB=90°，即FH⊥GH；

②利用“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知四边形AKEC的四条边都相等，则四边形AKEC是菱形．

【解答】证明：（1）∵AC平分∠BCD， ∴∠DCA=∠ACB．

又∵AC⊥AB，AD⊥AE，

∴∠DAC+∠CAE=90°，∠CAE+∠EAB=90°， ∴∠DAC=∠EAB．

又∵E是BC的中点， ∴AE=BE， ∴∠EAB=∠ABC， ∴∠DAC=∠ABC，

∴△ACD∽△BCA， ∴

=

，

∴AC2=CDBC；

（2）①证明：连接AH．

∵∠ADC=∠BAC=90°，点H、D关于AC对称， ∴AH⊥BC．

∵EG⊥AB，AE=BE，

∴点G是AB的中点， ∴HG=AG， ∴∠GAH=GHA．

∵点F为AC的中点， ∴AF=FH， ∴∠HAF=∠FHA，

∴∠FHG=∠AHF+∠AHG=∠FAH+∠HAG=∠CAB=90°， ∴FH⊥GH；

②∵EK⊥AB，AC⊥AB， ∴EK∥AC， 又∵∠B=30°，

∴AC=BC=EB=EC． 又EK=EB， ∴EK=AC，

即AK=KE=EC=CA， ∴四边形AKEC是菱形．

【点评】本题考查了四边形综合题，需要熟练掌握相似三角形的判定与性质，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”以及菱形的判定才能解答该题，难度较大．

16． （2016·江苏泰州）如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．（1）求证：AD∥BC；

（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长．

【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的定义．

【分析】（1）由AB=AC，AD平分∠CAE，易证得∠B=∠DAG=∠CAG，继而证得结论； （2）由CG⊥AD，AD平分∠CAE，易得CF=GF，然后由AD∥BC，证得△AGF∽△BGC，再由相似三角形的对应边成比例，求得答案． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAE， ∴∠DAG=∠CAG， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵∠CAG=∠B+∠ACB， ∴∠B=∠CAG， ∴∠B=∠CAG， ∴AD∥BC；

（2）解：∵CG⊥AD， ∴∠AFC=∠AFG=90°， 在△AFC和△AFG中，

，

∴△AFC≌△AFG（ASA）， ∴CF=GF， ∵AD∥BC， ∴△AGF∽△BGC， ∴GF：GC=AF：BC=1：2， ∴BC=2AF=2×4=8．