（3）设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得=，列出方程即可解决问题．

【解答】解：（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°， ∴∠ACB=80°，

∴△ABC不是等腰三角形， ∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°， ∴∠ACD=∠A=40°， ∴△ACD为等腰三角形，

∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC， ∴△BCD∽△BAC，

∴CD是△ABC的完美分割线．

（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=45°， ∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD=∠A=48°，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．

②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC=∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD=∠A=48°，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．

③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°， ∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD=∠A=48°，

∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃． ∴∠ACB=96°或114°． （3）由已知AC=AD=2， ∵△BCD∽△BAC， ∴∴（

=

，设BD=x， ）2=x（x+2），

=66°，

∵x＞0，

∴x=﹣1，

∵△BCD∽△BAC， ∴

=

=

×2=

， ﹣

．

∴CD=

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型．

14. （2016年浙江省衢州市）如图1，在直角坐标系xoy中，直线l：y=kx+b交x轴，y轴于点E，F，点B的坐标是（2，2），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A、C，点D是线段CO上的动点，以BD为对称轴，作与△BCD或轴对称的△BC′D． （1）当∠CBD=15°时，求点C′的坐标． （2）当图1中的直线l经过点A，且k=﹣

时（如图2），求点D由C到O的运动过程中，

线段BC′扫过的图形与△OAF重叠部分的面积．

（3）当图1中的直线l经过点D，C′时（如图3），以DE为对称轴，作于△DOE或轴对称的△DO′E，连结O′C，O′O，问是否存在点D，使得△DO′E与△CO′O相似？若存在，求出k、b的值；若不存在，请说明理由．

【考点】相似形综合题．

【分析】（1）利用翻折变换的性质得出∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2，进而得出CH的长，进而得出答案；

（2）首先求出直线AF的解析式，进而得出当D与O重合时，点C′与A重合，且BC′扫过的图形与△OAF重合部分是弓形，求出即可；

（3）根据题意得出△DO′E与△COO′相似，则△COO′必是Rt△，进而得出Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL），再利用勾股定理求出EO的长进而得出答案． 【解答】解：（1）∵△CBD≌△C′BD， ∴∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2， ∴∠CBC′=30°，

如图1，作C′H⊥BC于H，则C′H=1，HB=∴CH=2﹣

，

，1）；

，

∴点C′的坐标为：（2﹣

（2）如图2，∵A（2，0），k=﹣∴代入直线AF的解析式为：y=﹣∴b=

，

x+

， x+b，

则直线AF的解析式为：y=﹣∴∠OAF=30°，∠BAF=60°，

，

∵在点D由C到O的运动过程中，BC′扫过的图形是扇形，

∴当D与O重合时，点C′与A重合， 且BC′扫过的图形与△OAF重合部分是弓形， 当C′在直线y=﹣

x+

上时，BC′=BC=AB，

∴△ABC′是等边三角形，这时∠ABC′=60°， ∴重叠部分的面积是：

（3）如图3，设OO′与DE交于点M，则O′M=OM，OO′⊥DE， 若△DO′E与△COO′相似，则△COO′必是Rt△，

在点D由C到O的运动过程中，△COO′中显然只能∠CO′O=90°， ∴CO′∥DE， ∴CD=OD=1， ∴b=1，

连接BE，由轴对称性可知C′D=CD，BC′=BC=BA， ∠BC′E=∠BCD=∠BAE=90°， 在Rt△BAE和Rt△BC′E中 ∵

，

﹣

×22=π﹣

；

∴Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL）， ∴AE=C′E，

∴DE=DC′+C′E=DC+AE， 设OE=x，则AE=2﹣x， ∴DE=DC+AE=3﹣x，

由勾股定理得：x2+1=（3﹣x）2， 解得：x=，

∵D（0，1），E（，0）， ∴k+1=0，

解得：k=﹣，