yADxO图9C
【难易】 中等
【考点】 一次函数 相似
【解析】 (1)首先设出一次函数解析式,将点A,D代入即可求出一次函数解析式;(2)先写出OB,OD,BC的长度,然后分两种情况讨论1:△BOD∽△BCE;2:△BOD∽△BEC. 【参考答案】
(1)设直线AD的解析式为y=kx+b
453345 k+b=
33将点A(,),D(0,1)代入直线y=kx+b中得:
b=1 解得: k=
1 21x?1 2 b=1
?直经AD的解析式为:y?(2)设点E的坐标为(m,令y?1m+1) 21x?1?0得x=-2 2?点B的坐标为(-2,0)
令y=-x+3=0得x=3
?点C的坐标为(3,0)
?OB=2, OD=1, BC=5, BD=1?22?5
1. 当△BOD∽△BCE时,如图(1)所示,过点C作CE?BC交直线AB于E:
OBOD ?BCCE21 ?5CE5?CE=
215?m+1=,解得m=3 22??此时E点的坐标为(3,
5) 2
2. △BOD∽△BEC时,如图(2)所示,过点E作EF?BC于F点,则:
ODBD ?CEBC?15 ?CE5?CE=5
?BE=BC2?CE2?25?5?25 ?11BE*CE=EF*BC 22?25?5?EF?5 ?EF=2 ?1m?1?2 解得m=2 25),(2,2). 2?此时E点的坐标为(2,2)
?当△BOD与△BCE相似时,满足条件的E坐标(3,
12. (2016·广东梅州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5cm,∠BAC=60°, 动点M从点B出发,在BA边上以每秒2cm的速度向点 A匀速运动,同时动点N从点C出发,在CB 边上以每 秒3cm的速度向点B匀速运动,设运动时间为t秒 (0?t?5),连接MN. (1)若BM=BN,求t的值;
(2)若△MBN与△ABC相似,求t的值; (3)当t为何值时,四边形ACNM的面积最小? 并求出最小值.
考点:三角形的面积,三角形相似的性质,二次函数的图象及其性质。 解析:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,∠BAC=60°,
∴AB?10,BC?53. ………………………1分 由题意知BM?2t,CN?3t,BN?53?3t,
由BM=BN得2t?53?3t,………………………2分 解得:t?532?3?103?15.………………………3分
(2)①当△MBN∽△ABC时, ∴
MBBN52t53?3t?,即解得:t?.…………5分 ?ABBC21053,
②当△NBM∽△ABC时, ∴
NBBM1553?3t2t?, 即解得:t?. ?ABBC71053,
515或t?时,△MBN与△ABC相似.………………………7分
72 ∴当t? (3)过M作MD⊥BC于点D,可得:
MD?t.……………8分
设四边形ACNM的面积为y,
∴y?S?ABC?S?BMN?11AC?BC?BN?MD 22 ?11?5?53?(53?3t)?t 2235753253253(t?)2?3. t?t?……………9分?228222
5时,y的值最小. 2 ? ∴根据二次函数的性质可知,当t? 此时,y最小?753………………………10分 813. (2016年浙江省宁波市)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线于对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中 一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图1,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线.
CD是△ABC的完美分割线,∠A=48°,(2)在△ABC中,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数.
(3)如图2,△ABC中,AC=2,BC=
,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以
CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.
【考点】相似三角形的判定与性质. 【专题】新定义.
【分析】(1)根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形,②△ACD是等腰三角形,③△BDC∽△BCA即可.
(2)分三种情形讨论即可①如图2,当AD=CD时,②如图3中,当AD=AC时,③如图4中,当AC=CD时,分别求出∠ACB即可.