9. （2016,湖北宜昌，23，11分）在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B、C不重合），以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k＞1），EF∥BC． （1）求∠D的度数；

（2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH．

①如图1，连接GH、AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明； ②当四边形AGDH的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP=AD，求k的值．

【考点】相似形综合题．

【分析】（1）先判断△ABC是直角三角形，即可；

（2）①先判断AB∥DE，DF∥AC，得到平行四边形，再判断出是正方形；

②先判断面积最大时点D的位置，由△BGD∽△BAC，找出AH=8﹣GA，得到S矩形AGDH=﹣AG2+8AG，确定极值，AG=3时，面积最大，最后求k得值． 【解答】解：（1）∵AB2+AC2=100=BC2， ∴∠BAC=90°， ∵△DEF∽△ABC， ∴∠D=∠BAC=90°，

（2）①四边形AGDH为正方形， 理由：如图1，

延长ED交BC于M，延长FD交BC于N， ∵△DEF∽△ABC， ∴∠B=∠C，

∵EF∥BC， ∴∠E=∠EMC， ∴∠B=∠EMC， ∴AB∥DE， 同理：DF∥AC，

∴四边形AGDH为平行四边形， ∵∠D=90°，

∴四边形AGDH为矩形， ∵GH⊥AD，

∴四边形AGDH为正方形；

②当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大， 理由：如图2，

点D在内部时（N在△ABC内部或BC边上），延长GD至N，过N作NM⊥AC于M， ∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH，

∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大， 只有点D在BC边上时，面积才有可能最大， 如图3，

点D在BC上， ∵DG∥AC， ∴△BGD∽△BAC， ∴

，

∴∴

， ，

∴AH=8﹣GA，

S矩形AGDH=AG×AH=AG×（8﹣AG）=﹣AG2+8AG，

当AG=﹣

=3时，S矩形AGDH最大，此时，DG=AH=4，

即：当AG=3，AH=4时，S矩形AGDH最大， 在Rt△BGD中，BD=5， ∴DC=BC﹣BD=5， 即：点D为BC的中点， ∵AD=BC=5， ∴PA=AD=5，

延长PA，∵EF∥BC，QP⊥EF， ∴QP⊥BC，

∴PQ是EF，BC之间的距离， ∴D是EF的距离为PQ的长， 在△ABC中， AB×AC=BC×AQ ∴AQ=4.8

∵△DEF∽△ABC， ∴k=

=

=

．

【点评】此题是相似三角形的综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形，矩形，正方形的判定和性质，极值的确定，勾股定理的逆定理，解本题的关键是作出辅助线，

10. （2016吉林长春，20，7分）如图，在?ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，BE与CD交于点G （1）求证：BD∥EF； （2）若

=，BE=4，求EC的长．

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 【分析】（1）根据平行四边的判定与性质，可得答案； （2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∵DF=BE，

∴四边形BEFD是平行四边形， ∴BD∥EF；

（2）∵四边形BEFD是平行四边形， ∴DF=BE=4． ∵DF∥EC， ∴△DFG∽CEG， ∴

=

，

=4×=6．

∴CE=

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．

11.（2016·广东广州）如图9,在平面直角坐标系xOy中，直线y＝-x＋3与x轴交于点C,与直线AD交于点A(45,)，点D的坐标为(0,1) 33（1）求直线AD的解析式；

（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与

△BCE相似时，求点E的坐标