当p＜1时，0＜q＜p＜1, limn??SnSn?1a1b

?1

1?p1?q==1. a1b1

?

1?p1?q

探究创新

9.已知数列{an}满足a1=0,a2=1,an=解:由an=

an?1?an?2,求liman. n??2an?1?an?2,得 22an+an－1=2an－1+an－2,∴{2an+an－1}是常数列. ∵2a2+a1=2,∴2an+an－1=2.

212∴an－=－（an－1－）.

323212∴{an－}是公比为－,首项为－的等比数列.

323221－

∴an－=－×（－）n1.

332221－

∴an=－×（－）n1.

3322∴liman=. n??3●思悟小结

1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点： （1）各数列的极限必须存在；

（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算. 2.熟练掌握如下几个常用极限：

（1） limC=C（C为常数）;

n??（2） lim（

n??1p

）=0（p＞0）; nank?ba（3） lim=（k∈N *,a、b、c、d∈R且c≠0）;

n??cnk?dc（4） limqn=0（|q|＜1）.

n??●教师下载中心

教学点睛

0?,0－0,等形式，必须先化简成可求极限的类型再用

0?四则运算求极限，另外还有先求和，约分后再求极限，对含参数的题目一定要控制好难度，不要太难了.

2.重视在日常学习过程中化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用.

1.数列极限的几种类型：∞－∞,

拓展题例

【例题】 已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且有lim（

n??a11－qn）=,求首项a1

1?q2的取值范围.

解: lim （

n??a11－qn）=, 1?q2∴limqn一定存在.∴0＜|q|＜1或q=1.

n??当q=1时，

a11－1=,∴a1=3.

22n??当0＜|q|＜1时，由lim（

a1a11－qn）=得1=,∴2a1－1=q. 1?q21?q2∴0＜|2a1－1|＜1.∴0＜a1＜1且a1≠综上,得0＜a1＜1且a1≠

1. 21或a1=3. 2