∴a1,a3,a5,…,a2n－1,…是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立.

∴

bn?2an?2?an?3==c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c, an?an?1bn∴b1,b3,b5,…,b2n－1,…是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首项为2c,公

比为c的等比数列,

∴lim （b1+b2+b3+…+bn）= lim（b1+b3+b5+…）+ lim（b2+b4+…）=

n??n??n??1?c2c+≤3. 1?c1?c11或c＞1.∵0＜|c|＜1,∴0＜c≤或－1＜c＜0. 331故c的取值范围是（－1,0）∪（0,］.

3评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将{bn}的各项和表示为关于c的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.

●闯关训练 夯实基础

解得c≤

bn2?can2?can?c1.已知a、b、c是实常数，且lim=2, lim=3,则lim的值是

n??bn?cn??cn2?bn??cn2?aA.2 B.3 C.解析:由lim1 D.6 2n??an?c=2,得a=2b. bn?cbn2?c1由lim=3,得b=3c,∴c=b. n??cn2?b3∴

a=6. c2c2an?can∴lim== =6. limn??cn2?an??acc?2n答案:D

a?3?n?2?n?(?1)n(3?n?2?n)2.（2003年北京）若数列{an}的通项公式是an=,n=1,2,…,

2则lim （a1+a2+…+an）等于

n??A.

11171925 B. C. D. 24242424?3?n?2?n??解析:an=??n?n?3?2???n??2即an=??n??3?(3?n?2?n)(n为奇数),2 ?n?n?3?2(n为偶数),2(n为奇数),(－

n为偶数).－

－

－

－

－

∴a1+a2+…+an=（21+23+25+…）+（32+34+36+…）. ∴lim（a1+a2+…+an）=

n??23?1?2?21?3?2?1?2119?+9=.

11241?1?4912答案:C

3.（2004年春季上海）在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n,点（an,an?1）在直线x－y－3=0上，则liman(n?1)2n??=__________________.

解析:由题意得an－an?1=3 （n≥2）. ∴{an}是公差为3的等差数列，a1=3. ∴an=3+（n－1）·3=3n. ∴an=3n2.

3n2∴lim=lim2 n??(n?1)2n??n?2n?1an=limn??3=3.

211??2nn答案:3

4.（2004年 上海,4）设等比数列{an}（n∈N）的公比q=－

－1

1,且lim（a1+a3+a5+…+a2n

n??2）=

8,则a1=_________________. 3a18解析:∵q=－,∴lim （a1+a3+a5+…+a2n－1）=1=.∴a1=2.

n??1321?4答案:2

615.（2004年湖南,理8）数列{an}中,a1=,an+an+1=n?1,n∈N*,则lim（a1+a2+…+an）等

n??55于

2214 B. C. D. 57425解析:2（a1+a2+…+an）=a1+［（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+…+（an－1+an）］

6661+an=+[2+3+…+n]+an.

5555611113∴原式=［+25+liman］=（++liman）.

n??1251?2510n??5A.∵an+an+1=

65n?1,∴liman+liman+1=0.

n??n??∴liman=0.

n??答案:C

6.已知数列｛an｝满足（n－1）an+1=（n+1）（an－1）且a2=6,设bn=an+n（n∈N*）. （1）求{bn}的通项公式； （2）求lim（

n??1111+++…+）的值. b2?2b3?2b4?2bn?2解:（1）n=1时，由（n－1）an+1=（n+1）（an－1）,得a1=1.

n=2时，a2=6代入得a3=15.同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想bn=2n2.

要证bn=2n2,只需证an=2n2－n. ①当n=1时，a1=2×12－1=1成立. ②假设当n=k时，ak=2k2－k成立.

那么当n=k+1时，由（k－1）ak+1=（k+1）（ak－1）,得a k+1==

k?1（ak－1） k?1k?1k?1（2k2－k－1）=（2k+1）（k－1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）2－（k+1）. k?1k?1∴当n=k+1时，an=2n2－n正确，从而bn=2n2.

（2）lim（

n??111111++…+）=lim（++…+2）

n??b2?2b3?2bn?26162n?2=

1111++…+］ lim［

(n?1)(n?1)2n??1?32?4111111－］ lim［1－+－+…+

4n??324n?1n?111113=lim［1+－－］=. 4n??2nn?18培养能力

7.已知数列{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且

=

n??lim

an1111=,求极限lim （++…+）的值.

n??a1b1a2b2anbnbn2解:{an}、{bn}的公差分别为d1、d2.

∵2b2=a2+a3,即2（2+d2）=（3+d1）+（3+2d1）, ∴2d2－3d1=2. 又limn??an3?(n?1)d1d11=lim==,即d2=2d1, bnn??2?(n?1)d2d22∴d1=2,d2=4.

∴an=a1+（n－1）d1=2n+1,bn=b1+（n－1）d2=4n－2. ∴

11111==（－）. anbn(2n?1)?(4n?2)42n?12n?1111（1－）=. n??442n?18.已知数列｛an｝、{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中p＞q且p≠

∴原式=lim1,q≠1,设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和，求limn??Sn. Sn?1a1(1?pn)b1(1?qn)解:Sn=+,

1?p1?qSnSn?1a1(1?pn)b1(1?qn)?1?p1?q?. a1(1?pn?1)b1(1?qn?1)?1?p1?q当p＞1时，p＞q＞0,得0＜

q－

＜1,上式分子、分母同除以pn1，得 p1SnSn?1qna1(n?1?p)b1(n?1?n?1)ppp?1?p1?q?.

qn?111a1(n?1?1)b1[n?1?()]ppp?1?p1?q1∴limn??Sn=p. Sn?1