13.2 数列的极限

●知识梳理

1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限.

注：a不一定是｛an｝中的项.

2.几个常用的极限：①limC=C（C为常数）;②limn??n??1=0;③limqn=0（|q|＜1）.

n??n3.数列极限的四则运算法则：设数列｛an｝、｛bn｝， 当liman=a, limbn=b时，lim （an±bn）=a±b;

n??n??n??n??lim （an·bn）=a·b; limn??ana=（b≠0）. bnb特别提示

（1）an、bn的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个.

●点击双基

1.下列极限正确的个数是

1①lim?=0（α＞0） ②limqn=0 n??nn??③lim2n?3n2?3nnn??=－1 ④limC=C（C为常数）

n??A.2 B.3

C.4 D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B

1111）（1－）（1－）…（1－）］等于

n??345n?2A.0 B.1 C.2 D.3

1111解析: lim［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］

n??345n?2234n?1=lim［n××××…×］ n??345n?22n=lim=2. n??n?2答案:C

3.下列四个命题中正确的是

2. lim［n（1－

A.若liman2＝A2，则liman＝A

n??n??B.若an＞0，liman＝A，则A＞0

n??C.若liman＝A，则liman2＝A2

n??n??D.若lim（an－b）＝0，则liman＝limbn

n??n??n??解析:排除法，取an＝（－１）n，排除A； 取an＝答案:C

1，排除Ｂ；取an＝bn＝n，排除D． nn?2=__________.

n??1?2???n12?2nnn?2解析:原式=lim=lim=0.

n??n(n?1)n??1n?222答案:0

4.（2005年春季上海,2） limn2?2n5.（2005年春季北京,9） lim=____________.

n??2n2?32n=1. 解析:原式=limn??322?2n1?1 2思考讨论

答案:

求数列极限时，如是不定型（形？ ●典例剖析

【例1】 求下列极限： （1）lim0?,,∞－∞等），应先变形，再求极限，一般应如何变0?2n2?n?75n?72n??;（2） lim（n2?n－n）;

n??（3）lim（

n??422n++…+）. n2n2n2剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因n2?n与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.

2n2?n?7解:（1）lim=lim2n??n??5n?72?17?nn22=. 755?2nnn2?n?n（2）lim （n2?n－n）= limn??n??=lim11?1?1nn??=

1. 2（3）原式=limn??n(n?1)2?4?6???2n1==（1+）=1. limlim22n??n??nnn评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式=n??2+n+7）,

lim(2n2?n?7)n??lim(5n2?7)=

?=1,②∵lim（2n

n???n??lim（5n2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误：

n2?n－limn=∞－∞=0;②原式=limn??①lim（n2?n－n）= limn??n??n??n2?n－limn=

n??∞－∞不存在.对于（3）要避免出现原式=limn??242n++…+=0+0+…+0=0这样limlimn??n2n2n??n2的错误.

【例2】 已知数列｛an｝是由正数构成的数列，a1＝3，且满足lgan＝lgan－1＋lgc，其中n是大于1的整数，c是正数．

（1）求数列｛an｝的通项公式及前n和Sn；

（2）求lim2n?1?an2n?an?1n??的值．

解:（1）由已知得an＝ｃ·an－1,

－

∴｛an｝是以a1＝3，公比为c的等比数列，则an＝3·ｃn1.

?3n?∴Sn＝?3(1?cn)??1?c（2） lim(c?1)(c?0且c?1).

2n?1?an2n?an?1n??2n?1?3cn?1＝lim. nnn??2?3c①当c=2时，原式＝－

1; 42()n?1?31c②当ｃ＞2时，原式＝lim＝－;

n??2c2?()n?1?3ccc1?3()n?112③当0＜ｃ＜2时，原式=lim＝.

n??c22?3c?()n?12评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.

【例3】 已知直线l:x－ny=0（n∈N *）,圆M:（x+1）2+（y+1）2=1,抛物线?:y=（x－1）

2,又

|AB|2

l与M交于点A、B，l与?交于点C、D，求lim.

n??|CD|2|AB|2剖析:要求lim的值，必须先求它与n的关系.

n??|CD|2解:设圆心M（－1,－1）到直线l的距离为d,则

d2=

(n?1)2. 2n?1又r=1,∴|AB|2=4（1－d2）=

8n. 21?n设点C（x1,y1）, D（x2,y2），

?x?ny?0?nx2－（2n+1）x+n=0, 由?2?y?(x?1)∴x1+x2=

2n?1, x1·x2=1. nxx4n?12=（1－2）2=4n?1, ,（y－y）12

nnn2n4∵（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2=∴|CD|2=（x1－x2）2+（y1－y2）2

1=4（4n+1）（n2+1）. n|AB|28n5∴lim=lim=limn??|CD|2n??(4n?1)(n2?1)2n??811(4?)(1?)2nn=2.

|AB|2评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求,这就要求掌握2|CD|求弦长的方法.

【例4】 若数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an与an+1恰为方程x2－bnx+cn=0的两根,其中0＜|c|＜1,当lim （b1+b2+…+bn）≤3,求c的取值范围.

n??解:首先,由题意对任意n∈N*,an·an+1=cn恒成立.

an?1?an?2an?2cn?1∴==n=c.又a1·a2=a2=c.

an?an?1anc