第六章 相关和回归分析

【10】设销售收入X为自变量，销售成本Y为因变量。现在根据某百货公司12个月的有关资料，计算

出以下数据：

X?647.88Y?549.8??Y?Y?2?262855.25??X?X??425053.73

.09??X?X??Y?Y??3342292（1） 建立一元线性回归方程，解释回归方程中回归系数的经济意义； （2） 计算相关系数和可决系数，对变量的相关性和方程的拟合性进行评价； （3） 预计明年1月份销售额为800万元，对销售成本进行点估计； （4） 计算回归估计标准误差；

（5） 置信度为95%，利用拟合的回归方程对一月份销售成本进行区间预测。 解：n?12 X?647.88 Y?549.8 LXX?425053.73LYY?262 855.25 LXY?334229.09 334 229.09?0.786 321 978 635 5?0.786 32——单位变动成本425 053.73（1）求回归方程：

???2??549.8?0.786 321? 978 635 5?647.88?40.357 716 5?40.358——固定成本 1??40.358?0.786 32 X Y（2）计算相关系数和可决系数：

334 229.09?0.999 917 117?0.999 9——X、Y高度正相关 425 053.73?262 855.25r2?0.999834241?99.98%——方程的 拟合程度高r?（3）回归预测——点预测：

??40.358?0.78632Y?800?669.414 ?万元? 800（4）计算回归估计标准误差：

n?2

（5）区间估计：

?e? ?1?r??L??1?0.999 834 241??262 885.25?43.575 596 154 75?43.576

e43.575 596 154 75S????2.08747685388?2.087 5?万元?22YY2e12?2

Sef?Se1?X1??nf?X?2LXX1?800?647.88??2.087 477?1???2.226639 ?万元? 12425 053.732

??0.05 t?2?12?2??2.228 ??t?2?12?2??Sef?2.228?2.226 639?4.960 951 9?4.961 ?万元?

Y800 的估计区间：?669.414?4.961 ， 669.414?4.961???664.45 , 674.38?? 万元?

如果样本容量够大可采用简化的形式：

??0.05 Z ???Z?S?1.96?2.0875?4.092 ?万元? ?2?1.96Y800 ： ? 669.414?4.092， 669.414?4.092 ??? 665.32， 673.51 ?? 万元?

【11】银行为了解居民收入和储蓄的关系，对月收入在500～2 000元的100个居民进行里调查。设月收

入为x（元），储蓄金额为 y（元），资料经初步整理和计算，结果如下：

?x?1239?y?879?xy?11430?x2?17322?y2?7905

YEU GLXX

10

FGS

《统计学》习题解答

断

第五章 统计推

?的经济意义； （1） 建立回归直线方程，解释相关系数?2（2） 计算相关系数和可决系数，对变量间的相关性和方程的拟合程度进行评价； （3） 计算回归估计标准误差；

（4） 若月收入为1 500元，估计储蓄金额大约为多少？

（5） 在置信度为90% 之下，利用以上资料，对储蓄金额进行区间预测。

211解： LXX??X2????X??17 322??1 2392?1 970.79

n10011 LXY??XY???X?Y?11 430??1 239?879?539.19

n100211 LYY??Y2????Y??7905??8792?178.59

n100（1） 建立回归直线方程

??LXY?539.19?0.2736 ?2LXX1 970.79??Y????X?879?0. 2736?1239?5 . 400 ?元? ?12100100??5.40?0.2736回归方程： Y X

??0.1736——收入每增减100元，储蓄额则增减27.36元。 ?2（2） 计算相关系数和可决系数

539.19r??0.908851828?0.9089——变量X、Y之间具有高度正相关。

1970.79?178.59 r2?0.826011645?82.60%——线性方程的拟合程度高。（3） 回归预测——点预测：

?Y1500?5.40?0.2736?1500?415.80 ?元?

（4） 计算回归估计标准误差：

??178.59?31.07258031945 ?e2? 1?r2?LYY??1?0.826011645??

Se??e2n?2?31.07258031945?元? ?0.56308715677?0.5630100?2（5） 区间估计：

1Xf?XSef?Se1??nLXX??2?1500?1239100??18.877 ?元? 1?0.5630872?1??1001970.792??0.10 t?2?100?2??1.660 ??1.660?18.877?31.34 ?元?

Y1500 的估计区间：?415.80?31.34 ， 415.80?31.34???382.46 , 445.14?? 元?

［补充题3］

现有 10 个同类企业的生产性固定资产价值和工业总产值资料如下： 编号 YEU GLXX

FGS

X

Y

LXX

11

LYY

LXY

《统计学》习题解答

断

第五章 统计推

3 7 1 4 5 6 2 9 8 10 合计 200 314 318 409 415 502 910 1 022 1 210 1 225 6 525 要求:

638 605 524 815 913 928 1 019 1 219 1 516 1 624 9 801 204 756.25 114 582.25 111 890.25 59 292.25 56 406.25 22 650.25 66 306.25 136 530.25 310 806.25 327 756.25 1 410 976.50 117 032.41 140 700.01 208 027.21 17 258.01 4 502.41 2 714.41 1 513.21 57 073.21 287 188.81 414 607.21 126 616.90 154 800.25 126 971.35 152 565.45 40 210.85 15 936.25 7 841.05 10 016.75 88 273.55 298 764.25 368 632.75 1 264 003.50 （1） 计算相关系数和可决系数； （2） 求回归直线方程；

（3） 估计生产性固定资产为 1 100 万元时企业的总产值（区间估计α= 0.05）。 编号 3 7 1 4 5 6 2 9 8 10 合计 ? Y 574.734 2 676.859 5 680.442 9 761.963 9 767.339 0 845.276 7 1 210.777 8 1 311.111 4 1 479.528 6 1 492.966 1 9 801.000 1 ? Y?Y 63.265 8 -71.859 5 -156.442 9 53.036 1 145.661 0 82.723 3 -191.777 8 -92.111 4 36.471 4 131.033 9 -0.000 1 ?Y?Y?? 2 4 002.561 450 5 163.787 740 24 474.380 960 2 812.827 903 21 217.126 921 6 843.144 363 36 778.724 573 8 484.510 010 1 330.163 018 17 169.882 949 128 277.109 887 ?1? r?1 264 003.5?0.947 756 613?0.9478 1 410 976.5?1 260 616.9r2?0.947 756 6132?0.898 242 598?89.82%??1 264 003.5?0.895 835 968?0.8958?2? ?21 410 976.5

6525??9 801?0.895835968???395.5670303?395.5711010

??395.57?0.8958Y X

?1?0.947 756 6132?1 260 616.9?128 277.109 887

?3? ?e2??1?r2??LYY??128 277.109 887Se??126.627 954?126.63 ?万元?10?2??395.57?0.8958?1 100?1 380.95 ?万元? Xf?1 100 YfYEU GLXX

FGS

12

《统计学》习题解答

断

2 第五章 统计推

1?1 100?652.5?Sef?126.63?1???141.0853153?141.09 ?万元? 101 410 976.5??0.05 ??t?2?10?2??Sef?2.306?141.09?325.34 ?万元?

Yf ： ? 1 380.95?325.34, 1 380.95?325.34 ??? 1 055.61, 1706.29 ? ?万元?

如果样本容量够大，可以简化：

??Z?S?1.96?126.63?248.19 ?万元? Y ： ? 1 380.95?248.19 1 380.95?248.19 ? ?? 1 132.76 1 629.14 ?? 万元?

［补充题1］已知 10家百货公司人均月销售额和利润率的资料如下表: 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合 计 要求: 1) 画散点图，观察并说明两变量之间存在何种关系； 2) 计算相关系数和可决系数；

3) 求出利润率对人均月销售额的回归直线方程，并在散点图上绘出回归直线； 4) 若某商店人均销售额为 2 万元，试估计其利润率。

人均销售额（万元） 利润率（％） X 1 3 3 4 5 6 6 7 7 8 50 Y 3.0 6.2 6.6 8.1 10.4 12.3 12.6 16.3 16.8 13.5 105.8 X2 1 9 9 16 25 36 36 49 49 64 294 Y2 9.00 38.44 43.56 65.61 108.16 151.29 158.76 265.69 282.24 182.25 1 305.00 XY 3.0 18.6 19.8 32.4 52.0 73.8 75.6 114.1 117.6 108.0 614.9 LXX??X2?211??X?294??502?44?n10211 LYY??Y2???Y??1305??105.82?185.636n1011LXY??XY??X?Y?614.9??50?105.8?85.9n10（1）散点图：

YEU GLXX

FGS

13