4_21? ? ______
?：yi+y2=k(xi+x2)+2k=k
4
4-2k2 k2 + 4
2k=k-
?\
k
4 4 —]<2
???点M在抛物线上，?：（匸尸=4 ?丁, 即普=书一4,此方程无解.
???不存在满足条件的点M.
|备选题|
1.已知抛物线/ = 2px（p>0）, 0是坐标原点，F是抛物线的焦点，P是抛物线上一点，则使 得APOF是直角三角形的点P共有（ A. 0个 C. 4个
答案B
解析 当ZOFP为直角时，作出图形如图所示，过焦点F作PF丄x轴，交抛物线于点P, P', 则△OFP, △OFP'都是直角三角形.显然ZP0F不可能为直角.若Z0PF=90° ,易知F（§
）
B. 2个 D. 6个
0）,设p（話y）,可得矗=（务y），祁=（寿-% y）…俪?讦=話（話-3+宀話+学
4
q 2
??寺0，计>0,???祚?丽>0,???cosZ0PF>0, ???ZOPF为锐角,不可能为直角.综上,
使 得APOF是直角三角形的点P有且有2个.
2. F2是椭圆的两个隹
点，P为椭圆上的一个动点，过F2作ZF.PF2外角的平分线的垂线，垂足为M,则0M的长为 x2
y2
定值.类比此命题，在双曲线屮也有命题q：已知双曲线飞一台=l（a〉0, b>0）, Ft, F2是双 a b
曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F2作ZF.PF2的 _______ 的垂线，垂足为M, 则0M的长为定值
答案内角平分线a
解析 VF), F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F?作ZFFF2外角的平分线的 垂线，垂足为M,???点F?关于ZFIPF2的外角平分线PM的对称点Q在FiP的延长线上，
= |PFj + |PF2|=2a(椭圆长轴长),又训是厶F2F.Q的中位线,故|OM|=a.不妨设点P在双 曲线右支
上,当过F2作ZFIPF2的内角平分线的垂线,垂足为M时，点F?关于ZF,PF2的内角 平分线PM的对称点Q在PF)±, |FjQ| = |PFi|-|PF2|=2a,又0M是△F/Q的中位线，故10M|
=a?
3. (2018 ?海南海口三模)已知椭圆C： ^+y=l(a>l)的左、右焦点分别为Fi(-c, 0), F2(c, a 0), P为椭圆C上任意一点，且1乖?诵2的最小值为0. (1) 求椭圆c的方程；
(2) 若动直线1】，12均与椭圆C相切，且h〃12,试探究在X轴上是否存在定点B,使得点 B
到1】，12的距离之积恒为1?若存在，请求岀点B的坐标；若不存在，请说明理由.
V2
2
2
答案(1)°+『=1 (2)略
解析 ⑴设 P(x, y),贝!)有FJP=(x + c, y), F2P= (x—c, y),
PFi ? PF2 = x + y —c2=~~
2：!
+1—c2, xG[ —a, a],
a
由帚?环》的最小值为0,得1 一『=0,???c = l, a =2,
x2
?I椭圆C的方程为刁+『=1 ? (2)①当直线li, 12斜率存在时，设其方程分别为y=kx+m, y = kx + n, 把li的方程代入椭圆方程得(1 + 2k2) x' + 4mkx + 2n/—2 = 0.
???直线 h 与椭圆 C 相切,A =16k2m2-4(l+2k2) (2m2-2)=0, 化简得 m2=l+2k2,同理,n2=l+2k2,
/.m2=n2.若 m=n,则 h, I2重合，不合题意，.*.m=—n.
设在x轴上存在点B(t, 0),点B到直线L, 12的距离之积为1,
I kt —
即 | k~t~ — m\
A/F+I m I
pk'+l 把l+2k2=nf代入并去绝对值，整理得k2(t2-3)=2或弋(孑一1)=0,前式显然不恒成立;
而要使得后式对任意的kUR恒成立，则t?—1=0,解得t=±l.
I kt+m | ②当直线h, I2斜率不存在时，其方程为x=y[2和x = -^,定点(一1, 0)或(1, 0)到直线 h, 12的距
离之积为(^2 + 1)?(V2-l)=l,
综上所述，满足题意的定点B为(一1, 0)和(1, 0).
4. (2018 ?吉林一中二模)己知抛物线C： y2=2px(p>0)与直线x-￡y + 4 = 0相切. (1) 求该抛物线的方程；
(2) 在x轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M,过该点的动直线1与抛物线C交于A, B 两
点，使得缶+侖为定值？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由. 答案(l)『=8x⑵略
ly =2px,
相切,得 A =8p2—32p=0,解得 p=4. 所以抛物线的方程为y2=8x.
(2)假设存在满足条件的点M(m, 0) (m>0).
直线 1： x = ty+m,由，
得 y2—8ty —8m=0,
设 A(xi, yi), B(X2, y2),有 yi+y2=8t, yiy2=—8m.
| AM 12= (xi—m)2+y12= (t2+l)yi2, |BM|2= (x2—m)2+y22= (t2+l)y22.
Z2
1 i 1 1 1 1 yi+y2 1 (
|AM|2+|BM|2= (t2+l) y( (t2+l) y22=t2+l * yi2y22 =t2+l #
4t2+m 2，4m
当m=4时，|仙|$ + | BM12为定值，所以M(4，0).
5. (2018 ?浙江温州第一次考试)如图，动圆C过点F(l, 0),且与直线x = -l相切于点P.
2 过点F任作一直线交轨迹「于A, B两点，设PA, PF, PB的斜率分别为k“ k2,扁问: 屮是否
1
为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. K2 答案(l)y'=4x
(2)定值为2
解析(1)由题意，圆心C到点F(l, 0)的距离与到直线x = -l的距离相等.
由抛物线的定义，可知圆心C的轨迹是以F(l, 0)为焦点，以直线x = —1为准线的抛物线, 其屮号=1,所以p = 2.
故圆心C的轨迹r的方程是y2=4x.
⑵设直线 AB 的方程为 x=my+L A(xi, yj , B(x2, yi).
x=my+l,
联立方程，得｛ 2
y =4x,
则 yi+y2=4m, yiy2=—4.
整理得旷一4my—4 = 0,
yi-t 设P(7小则k尸十==斥’k尸粽’*2=士一寺
(yi —t)
(my2+2) + (y?—t) (myi + 2)
(myi + 2) (my2+2)
2myiy2+ (2 —tm) (yi + y2)—4t
nryiy2+2m (yi + y2)+4 ki + 姑 —t “ki + k3 丄宀/士
则二7=2,故飞厂为定值,
ki + k3 =
2m (—4) + (2 —tm) ? 4m—4t —4t (m'+l) m ( —4)
+2m ? 4m+4 4 (m2+l)
定值为2.
2 2
6. (2018 ?吉林普通中学第一次调研)如图，已知椭圆E： j+p>=l(0 短轴CD上，且西?PD=-2. (1) 求椭圆E的方程及离心率； (2) 设0为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A, B两点，是否存在常数X,使得西?西 + XPA ?西为定值？若存在，求X的值；若不存在，请说明理由. 答案 ⑴予+$=1 e=~ (2)入=1时，定值为一3 解析(1)由已知，点C, D的坐标分别为(0, -b), (0, b). 又点P的坐标为(0, 1),且西?PD=-2, (1_b2=一2, 于是I 22 解得c = b b=J3. la° —lr = c , x'' y'' 所以椭圆E的方程为才+討1? 因为c = l, a = 2,所以离心率e=*. j- ' (2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx + l,点A, B的坐标分别为(x】,yj , (X2, Y2)-