层级快练（六十

六）

1. （2018 ?重庆一屮期屮）当曲线y = _寸4_x?与直线kx —y + 2k—4 = 0有两个不同的交点

时，实数k的取值范围是（）

A. （0,》 C. (|, 1]

答案C

B.（寻,

解析 曲线y=—甫二7表示圆x2+y2=4的下半部分，直线kx-y + 2k

|2k~4| — 4 = 0过定点（一2, -4）.由

pk'+l

3

?

5

3

=2,解得k=[,所以过点（一2,

1 _____

—4）且斜率k=-的直线y =尹一二与曲线y=—护二卫相切，如图所示.过点（一2, —4）与

-4-0 点（2, 0）的直线的斜率=1.所以曲线y = -p?二只与直线kx-y + 2k = 0有两个不

-2-2

为

同的交点时，实数k的取值范围是（|, 1],故选C.

2. 设抛物线x2=2py（p>0）, M为直线y= —2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分

别为A, B,记A, B, M的横坐标分别为XA, XB, XM,则（ ）

A. XA + XB = 2XH

1 I 9

B. XA ? XB = XM? D.以上都不对

C.

xA XB XM

答案A

2

解析 由x~2py得 尸宁，所以X

2p

p

所以直线MA的方程为y + 2p=-（x-xu）,直线

P

MB 的方程为 y + 2p=~（x —XM）,所 W+ 2p =— （xA—xM） ①，7^+2p=—（xB—xM） ②，

由 P p zp p

①②可得XA+XB=2XM,故选A.

2

3. （2016 ?浙江，文）设双曲线x2-y= 1的左、右焦点分别为F】，F?.若点P在双曲线上，

且AFiPF?为锐角三角形，贝iJlPFil + |PFj的取值范围是 _______ ? 答案（2寸,8）

解析 由题意不妨设点P在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF2丄x轴时，|PFJ +

IPF2I有最大值8；当ZP为直角吋，|PF, | + |PF』有最小值2寸.因为△FFF2为锐角三角形, 所

以|PF1| + |PF2|的取值范围为(2〒,8).

4. 己知圆C的半径为2,圆心在直线y= — x + 2上，E(l, 1), F(l, 一3),若圆上存在点Q, 使|QF|J|QEr=32,则圆心的横坐标a的取值范围为

答案[ — 3, 1]

解析 根据题意,可设圆C的方程为(x—A+(y + a—2尸=4,设Q(x, y),由|Q叶一|QEf = 32,得至lj

(x—I)2+ (y+3)2— (x—I)2— (y—1)2=32,得 y=3,故点 Q 在直线 y=3 上,又 点Q在圆(x-a)2+(y + a-2)2=4±,所以圆C与直线y = 3必须有公共点.因为圆心的纵 坐标为一a+2,半径为2,所以圆C

与直线y = 3有公共点的充分条件是1W—a+2W5,即 —3W°W1.所以圆心的横坐标a的取值范围是[一3, 1].

5. (2018 ?江西红色七校二模)已知椭圆的焦点坐标为FM—1, 0), F2(l, 0),过F2垂直于 长轴的

直线交椭圆于P, Q两点，且|PQ|=3.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 过F2的直线1与椭圆交于不同的两点N,则△F41N的内切圆的面积是否存在最大值？ 若存

在，求出这个最大值及此时直线1的方程；若不存在，请说明理Ftl.

v2 v2

答案 ⑴亍+話=1⑵存在，最大值为令

2 2

Qn

Qi 2

解析 ⑴设椭圆方程为与+占=l(a>b>0),由焦点坐标可得c=l,由|PQ|=3,可得丄=3.

3 0 又 a2—b2=l,解得 3=2, b=￡,

X*' y\

a

故椭圆方程为才+寸

⑵设M(x>, yi), N(X2, y2),不妨设y】>0, y2<0.设△FiMN的内切圆的半径为R? 则△FNN的周长为4a=8,

SAFiMN=|(|MN| + | FiM | + |F】N|)R=4R.

因此,SAF^IN最大，R就最大,△FAIN的内切圆的面积就最大. 由题知，直线1的斜率不为零，可设直线1的方程为x=my+l.

x = my+l,

由< x\2

T+T=b

得(3m2+4)y2+6my —9=0,

Ri —3m+6^/m2+1 则汁 3nr + 4 —3m—6\\/m2+ \\

，沪 3nr+4 ，

则 SAFiMN^lF^I (yi-y2) =yi_y2=l鎖卜;1.

令 t=?i『+l, tMl,贝】J SAFIMN=1^^[=3；￥]= * ]. m 令 f(t)=3t+|,则 f‘ (t)=3_*,当 tMl 时,fz (t)20,

3t+*

代0在[1, +8)上单调递增,则f(t)Mf⑴=4, SAFMNW3,且当t = l,即m=0时,(S △F】MN)唤=3.

3 9

???SZ\\EMN=4R,???也4 =7这时所求内切圆面积的最大值为三兀16 .故直线1的方程为x=l

9

时，△F】MN内切圆的面积取得最大值=兀?

6. (2018 ?安徽六安二模)设点P是圆x2+y2=4上的任意一点，点D是点P在x轴上的投影, 点M满足书茹=2丽，过定点Q(0, 2)的直线1与动点M的轨迹交于A, B两点. (1) 求动点M的轨迹方程；

(2) 在y轴上是否存在点E(0, t),使|EA| = |EB| ?若存在，求出实数t的収值范围；若不

存在，请说明理由. 答案(l)^+y=l

(2)存在,te(-|, 0]

解析 ⑴设点M的坐标为(x, y),点P的坐标为(xp, yP),则点D的坐标为(xp, 0),由萌

PD = 2MD,

2 2

???点P在2=4,即令+号=1,

圆上,

X V

???点M的轨迹方程为

⑵当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x = 0,当E与原点重合，即t = 0时，满足 |EA| = |EB|.

当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=kx+2,代入才+刍=1,消去y,得(3+4k2)x2

+ 16kx+4=0,

则由 A = (16k)2-16(3+4k2)>0,得|k|〉*

设 A(xi, yi), B(X2, y2)t nl ,

16k 4

则 Xl + X2= 一孤帀，= V|EA| = |EB|, A (EA+EB)? AB=0.

动

又EA+EB=(X1+X2, k(xi+x2)+4 —2t), AB= (x2—Xi, k(x2—xj),

/. (x2—Xi, k(x2—xi))?(X1 + X2, k(xi+x2)+4 —2t) =0,展开化简,得(1 + k2)?(xi + x2) + 4k—2kt = 0,

将X] + X2=—#|吕代入化简，得t =—伏 + 3,

1-2^ o

——: G 4k2+3

综上，存在符合题意的点E,且实数t的取值范圉为(一*, 0].

7. (2018 ?贵州贵阳考试)已知抛物线E： y2 = 4x的焦点为F,准线为1,准线1与x轴的交 点

为P,过点P且斜率为k的直线m交抛物线于不同的两点A, B.

⑴若|AF| + |BF|=8,求线段AB的中点Q到准线的距离； (2)E上是否存在一点M,满足PA +

PB=pjfl?若存在，求出直线m的斜率；若不存在，请说明 理由.

答案(1)4

(2)不存在

解析(1)由抛物线E的方程为y2=4x, 可得 F(l, 0),准线 1： x=-l, P(-l, 0).

过点A作M'丄1,过点B作BB'丄1,垂足分别为A' , B'. 由抛物线的定义得|AF| = |AA, |, |BF| = |BB, |, ???由 |AF| + |BF|=8 W|AAZ | + |BBZ | =8. 过AB的中点Q作QQ'丄],垂足为『, 故QQ'是直角梯形AA‘

B的中位线,

???|QQ‘ | = 阳 号加丨諾=4,即线段AB的屮点Q到准线的距离为4.

⑵设 A(xi, yi), B(X2, yz), M(X, y),

则PA+PB= (xi + 1, yi) +(X2+I, y2)= (xi+xz+2, yi+y2)= (x+l, y)=PM, XI + X2+2 = X + 1 , [xi + x2=x

—1, 故i

[yi+y?2=y,

即i

〔w+y2=y.

设直线m的方程为y = k(x+l),

y = k (x + 1), 联立]y2 = 4x,

kHO,

得 k2x2 + (2k2-4)x + k2=0,

?I A = (2k2-4)2-4k1=l6-l6k2>0, x】 + x?2 =

4-2k2 k2