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被称为“黄金代换式”.
3.天体运动的物理量与轨道半径的关系
Mmv2
(1)由G2＝m得v＝
rrMmr2
GM，r越大，v越小. rGM，r越大，ω越小. r3
r3
，r越大，T越大. GM(2)由G2＝mωr得ω＝
Mm?2π?2
(3)由G2＝m??r得T＝2π
r?T?
MmrGMr(4)由G2＝man得an＝2，r越大，an越小.
例3 2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约805km处发生碰撞，这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件.碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境.假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是( ) A.甲的运行周期一定比乙的长 B.甲距地面的高度一定比乙的高 C.甲的向心力一定比乙的小 D.甲的向心加速度一定比乙的大 答案 D
Mmv2解析 甲的运行速率大，由G2＝m，得v＝
rr得T＝
4πr23
2
GMMm4π，由此可知，甲碎片的轨道半径小，故B错；由G2＝mr2，rrTGMGMr，可知甲的周期小，故A错；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C错；由
GMmr2
＝man得an＝2，可知甲的向心加速度比乙的大，故D对. 【考点】人造卫星各物理量与半径的关系 【题点】人造卫星各物理量与半径的关系
针对训练2 如图1所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径).下列说法中正确的是( )
图1
A.a、b的线速度大小之比是2∶1 B.a、b的周期之比是1∶22 C.a、b的角速度大小之比是36∶4 D.a、b的向心加速度大小之比是9∶2 答案 C
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解析 两卫星均做匀速圆周运动，F万＝F向.
GMmv2v1由2＝m得，＝rrv2GMm?2π?2T1由2＝mr??得＝r?T?T2GMmω12
由2＝mrω得＝rω2
r2
＝r13R＝2R3
，故A错误. 2
2
，故B错误. 3
r132＝r233
r2336＝，故C正确. r134
GMman1r229
由2＝man得＝2＝，故D错误. ran2r14
【考点】人造卫星各物理量与半径的关系 【题点】人造卫星各物理量与半径的关系
1.(天体质量的估算)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图2所示)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×10km，已知引力常量G＝6.67×10
6
－11
2
2
N·m/kg，则土星的质量约为( )
图2
A.5×10kg C.7×10kg 答案 B
2
Mm4π
解析 “泰坦”围绕土星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力.G2＝mr2，其中T＝16×24×3600s≈1.4
rT3317
26
B.5×10kg D.4×10kg
36
×10s
代入数据解得M≈5×10kg. 【考点】计算天体的质量 【题点】天体质量的综合问题
2.(天体密度的计算)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( ) A.测定飞船的运行周期 C.测定行星的体积 答案 A
2
Mm4π433π
解析 取飞船为研究对象，由G2＝mR2及M＝πRρ，知ρ＝2，故选A.
RT3GT26
6
B.测定飞船的环绕半径 D.测定飞船的运行速度
【考点】天体密度的计算 【题点】已知周期、半径求密度
3.(卫星各运动参量与轨道半径的关系)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.2018年5月9日发
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射的“高分五号”轨道高度约为705km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36000km，它们都绕地球做圆周运动.与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( ) A.周期 C.线速度 答案 A
2
GMm4π
解析 “高分五号”的运动半径小于“高分四号”的运动半径，即r五 rTB.角速度 D.向心加速度 v2 ＝mrω＝m＝man. r2 T＝ω＝v＝ 4πr23 GMGM∝r3GM∝r∝r，T五 1 ，ω五>ω四，故B错； 3 r3r1 ，v五>v四，故C错； GM1 an＝2∝2，an五>an四，故D错. rr【考点】天体运动规律分析 【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律 4.(天体运动各参量的比较)如图3所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( ) 图3 A.甲的向心加速度比乙的小 B.甲的运行周期比乙的小 C.甲的角速度比乙的大 D.甲的线速度比乙的大 答案 A 解析 甲、乙两卫星分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心 2 Mm4πv2GM2 力.由牛顿第二定律G2＝man＝m2r＝mωr＝m，可得an＝2，T＝2π rTrrr3，ω＝GMGM，v＝r3GM.由已r知条件可得a甲＜a乙，T甲＞T乙，ω甲＜ω乙，v甲＜v乙，故正确选项为A. 【考点】天体运动规律分析 【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律 5.(天体运动的分析与计算)如图4所示，A、B为地球周围的两颗卫星，它们离地面的高度分别为h1、h2，已知 精品 地球半径为R，地球表面重力加速度为g，求： 图4 (1)A的线速度大小v1； (2)A、B的角速度大小之比ω1∶ω2. 答案 (1) gR2 (2)R＋h1?R＋h2? 3 ?R＋h1? 3 解析 (1)设地球质量为M，A卫星质量为m1， GMm1v12 由万有引力提供向心力，对A有：① 2＝m1 ?R＋h1?R＋h1 在地球表面对质量为m′的物体有：m′g＝G由①②得v1＝ Mm′ ② R2 gR2 R＋h1 2 (2)由G2＝mω(R＋h)得，ω＝ ?R＋h? MmGM3 ?R＋h? ?R＋h2? 3. ?R＋h1? 3 ω1 所以A、B的角速度大小之比＝ ω2 【考点】天体运动规律分析 【题点】应用万有引力提供向心力分析天体运动规律 一、选择题 考点一 天体质量和密度的计算 1.已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( ) A.月球的质量 C.地球的半径 答案 B 23 Mm4π24πR解析 由天体运动规律知G2＝m2R可得，地球质量M＝，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，RTGT2 B.地球的质量 D.地球的密度 故选项B正确. 【考点】计算天体的质量