提分专练07
二次函数简单综合问题
|类型1| 二次函数与方程(不等式)的综合
1.[2019·荆门]抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为 ( ) A.0
B.1
C.2
D.3
[答案] C
[解析]当x=0时,y=-x2+4x-4=-4,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,-4), 当y=0时,-x2+4x-4=0,解得x1=x2=2,抛物线与x轴的交点坐标为(2,0), 所以抛物线与坐标轴有2个交点.故选C.
2.[2019·泸州]已知二次函数y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点,且当x<-1时,y随x的增大而减小,则实数a的取值范围是 ( ) A.a<2 [答案] D
[解析]y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7=x2-2ax+a2-3a+6,
∵抛物线与x轴没有公共点,∴Δ=(-2a)2-4(a2-3a+6)<0,解得a<2. ∵抛物线的对称轴为直线x=--2??2
B.a>-1 C.-1 =a,抛物线开口向上, 而当x<-1时,y随x的增大而减小, ∴a≥-1,∴实数a的取值范围是-1≤a<2.故选D. 3.[2018·南京] 已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数). (1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点; (2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方? 解:(1)证明:当y=0时,2(x-1)(x-m-3)=0,解得x1=1,x2=m+3. 当m+3=1,即m=-2时,方程有两个相等的实数根;当m+3≠1,即m≠-2时,方程有两个不相等的实数根.所以,不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点. (2)当x=0时,y=2m+6,即该函数的图象与y轴交点的纵坐标是2m+6. 当2m+6>0,即m>-3时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方. |类型2| 二次函数与直线的综合 4.[2018·孝感] 如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是 x1=-2,x2=1 . [解析]∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),∴??1=-2,??2=1,??=????2, {的解为{{即方程ax2=bx+c的解是x1=-2,x2=1. ??=????+????1=4,??2=1. 5.[2019·北京] 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-??与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上. (1)求点B的坐标(用含a的式子表示); (2)求抛物线的对称轴; (3)已知点P(2,-??),Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围. 解:(1)∵抛物线与y轴交于点A,∴令x=0,得y=-??, ∴点A的坐标为(0,-). ??1 1 1 1 1 ∵点A向右平移2个单位长度,得到点B, ∴点B的坐标为(2,-??). (2)∵抛物线过点A(0,-)和点B(2,-),由对称性可得,抛物线对称轴为直线x= ?? ?? 1 1 0+22 1 =1. (3)根据题意可知,抛物线y=ax2+bx-??经过点A(0,-??),B(2,-??). ①当a>0时,则-??<0, 分析图象可得:点P(2,-??)在对称轴左侧,抛物线上方,点Q(2,2)在对称轴右侧,抛物线上方,此时线段PQ与抛物线没有交点. ②当a<0时,则-??>0. 1 1 1 1 111 分析图象可得:当点Q在点B上方或与点B重合时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点,此时-??≤2,即a≤-2. 综上所述,当a≤-时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点. 21 1 1 |类型3| 二次函数的最值问题 6某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元时,平均每天能多售出4件,当每件的定价为多少元时,该服装店平均每天的销售利润最大. 解:设每件的定价为x元,每天的销售利润为y元. 根据题意,得y=(x-15)[8+2(25-x)]=-2x2+88x-870. ∴y=-2x2+88x-870=-2(x-22)2+98. ∵a=-2<0, ∴抛物线开口向下, ∴当x=22时,y最大值=98. 7.[2019·台州] 已知函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(-2,4). (1)求b,c满足的关系式; (2)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b的值变化时,求n关于m的函数解析式; (3)若该函数的图象不经过第三象限,当-5≤x≤1时,函数的最大值与最小值之差为16,求b的值. 解:(1)将(-2,4)代入y=x2+bx+c, 得4=(-2)2-2b+c,∴c=2b, ∴b,c满足的关系式是c=2b. (2)把c=2b代入y=x2+bx+c, 得y=x2+bx+2b, ∵顶点坐标是(m,n), ∴n=m2+bm+2b, 且m=-2,即b=-2m, ∴n=-m2-4m. ∴n关于m的函数解析式为n=-m2-4m. (3)由(2)的结论,画出函数y=x2+bx+c和函数y=-x2-4x的图象. ?? ??2 ∵函数y=x2+bx+c的图象不经过第三象限,∴-4≤-≤0. ①当-4≤-2≤-2,即4≤b≤8时,如图①所示, ?? 当x=1时,函数取到最大值y=1+3b,当x=-时,函数取到最小值y= 2?? 8??-??24 , ∴(1+3b)- 8??-??24 =16,即b2+4b-60=0,∴b1=6,b2=-10(舍去); ②当-2<-2≤0,即0≤b<4时,如图②所示, ?? 当x=-5时,函数取到最大值y=25-3b,当x=-2时,函数取到最小值y=∴(25-3b)-8??-??24 ?? 8??-??24 , =16,即b2-20b+36=0, ∴b1=2,b2=18(舍去). 综上所述,b的值为2或6. |类型4| 二次函数与平行四边形的综合 8.[2019·孝感节选] 如图①,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2-2ax-8a与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,-4). (1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ,线段AC的长为 ,抛物线的解析式为 . (2)点P是线段BC下方抛物线上的一个动点.如果在x轴上存在点Q,使得以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标.