【点评】本题考查了菱形的性质及等边三角形的判定，解答本题的关键是掌握菱形四边相等的性质，属于基础题．

三．简答题

7．如图，在菱形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，CG⊥AD于点G，交AF于点H． （1）求菱形ABCD的面积； （2）求∠AHC的度数．

【考点】菱形的性质．

【分析】（1）连接AC，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AB=AC，然后判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出AE，然后利用菱形的面积公式列式计算即可得解；

（2）根据等边三角形的性质求出∠CAE，再求出∠CAF，从而得到∠EAF，然后求出AE∥CG，再根据两直线平行，同旁内角互补解答．

【解答】解：（1）如图，连接AC，∵E为BC的中点，AE⊥BC， ∴AB=AC，

又∵菱形的边AB=BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AE=

AB=

×4=2

，

=8

；

∴菱形ABCD的面积=BC?AE=4×2

（2）在等边三角形ABC中，∵AE⊥BC， ∴∠CAE=∠BAC=×60°=30°， 同理∠CAF=30°，

∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°， ∵AE⊥BC，CG⊥AD，AD∥BC， ∴AE∥CG，

∴∠AHC=180°﹣∠EAF=180°﹣60°=120°．

【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟记各性质并准确识图，作出辅助线构造成等边三角形是解题的关键．

8．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，求∠CEF的度数．

【考点】菱形的性质． 【专题】几何图形问题．

【分析】连接AC，判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB=AC，然后求出∠BAE=∠CAF，再利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边

相等可得AE=AF，从而判断出△AEF是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠AEF=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理可得∠CEF=∠BAE．

【解答】解：如图，连接AC， 在菱形ABCD中，AB=BC， ∵∠B=60°，

∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，

∵∠BAE+∠CAE=∠BAC=60°， ∠CAF+∠EAC=∠EAF=60°， ∴∠BAE=∠CAF， ∵∠B=∠ACF=60°， 在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴AE=AF， 又∵∠EAF=60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AEF=60°，

由三角形的外角性质，∠AEF+∠CEF=∠B+∠BAE， ∴60°+∠CEF=60°+20°， 解得∠CEF=20°．

【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．

9．在菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB=4cm，求菱形的面积和对角线BD的长．

【考点】菱形的性质．

【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AB=AC，然后判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出AE，然后利用菱形的面积公式列式计算即可得解；再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式求解即可得到BD． 【解答】解：∵AE垂直平分BC， ∴AB=AC，

又∵菱形ABCD的边AB=BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AE=

AB=

×4=2

=8cm， cm2；

∴菱形的面积=4×2

又菱形的面积=AC?BD=×4?BD=2BD， ∴2BD=8

，