第6章 机械波

6.8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y=Acos(Bt?Cx)，其中A，B，C为正值恒量。求：

⑴ 波的振幅、波速、频率、周期与波长；

⑵ 写出传播方向上距离波源为l处一点的振动方程；

⑶ 任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差。

解：⑴ 已知平面简谐波的波动方程：y?Acos(Bt?Cx) (x?0) 将上式与波动方程的标准形式：y?Acos(2??t?2?x?)比较，可知：

波振幅为A，频率??B22?，波长???C，波速u????BC，

波动周期T?12???B。

⑵ 将x?l代入波动方程即可得到该点的振动方程：y?Acos(Bt?Cl)

⑶ 因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为：???2?(x2?x1)

将x??2?x1?d，及??2C代入上式，即得：???Cd。 6.9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05cos(10?t?4?x)，式中

x,y以米计，t以秒计。求：

⑴ 绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；

⑵ 求x=0.2m处质点在t=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在t=1.25s时刻到达哪一点? 解：⑴ 将题给方程与标准式y?Acos(?t?2??x)相比，得：

振幅A?0.05m，圆频率??10?，波长??0.5m，

波速u??????2??2.5ms。

绳上各点的最大振速，最大加速度分别为：

vmax??A?10??0.05?0.5?m?s?1

amax??2A?(10?)2?0.05?5?2m?s?2

⑵x?0.2 m处的振动比原点落后的时间为：

x0.2u?2.5?0.08s 故x?0.2m,t?1s时的位相就是原点(x?0)，在t0?1?0.08?0.92s时的位相，即：??9.2π。

设这一位相所代表的运动状态在t?1.25s时刻到达x点，则，

x?x1?u(t?t1)?0.2?2.5(1.25?1.0)?0.825m

6.11 一列平面余弦波沿x轴正向传播，波速为5 m/s，波长为2m，原点处质

点的振动曲线如题6.11图所示。 ⑴ 写出波动方程；⑵作出t=0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线。解： ⑴ 由题6.11(a)图知，A?0.1 m，且

t?0时，y3?0?0 , v0?0，∴?0?2， 又??u?5?2?2.5Hz，则??2???5? 取y?Acos[?(t?xu)??0]，则波动方程为：y?0.1cos[5?(t?x5)?3?2]m

⑵ t?0时的波形如题6.11(b)图

x?0.5m代入波动方程，得该点处的振动方程为：

y?0.1cos[5?t?5??0.53?5?2]?0.1cos(5?t??)m

如题6.11(c)图所示。

6.12 如题6.12图所示，已知t=0时和t=0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b)，周期T>0.5s,波沿x轴正向传播，试根据图中绘出的条件求：

⑴ 波动方程；⑵P点的振动方程。 解：⑴ 由题6.12图可知，A?0.1m，??4m，

又，t?0时，y0?0,v0?0，

∴??0?2，

而u??x?t?10.5?2 m?s-1，??u??24?0.5Hz，∴??2????

故波动方程为：y?0.1cos[?(t?x?2)?2]m

⑵ 将xP?1m代入上式，即得P点振动方程为：

y?0.1cos[(?t??2??2)]?0.1cos?t m

6.13 一列机械波沿x轴正向传播，t=0时的波形如题6.13图所示，已知波速为10 m/s1，波长为2m，求： ⑴波动方程；

⑵ P点的振动方程及振动曲线； ⑶ P点的坐标；

⑷ P点回到平衡位置所需的最短时间。 解：由题6.13图可知A?0.1m，

t?0时，y0?A,v??0?0，∴0?，由题知??2m，u?10m?s-123，则??u10??2?5Hz，∴??2???10?

⑴ 波动方程为：y?0.1cos[10?(t?x?10)?3]m

⑵ 由图知，t?0时，yA?4?P??2,vP?0，∴?P?3 (P点的位相应落

后于0点，故取负值)

∴P点振动方程为y4p?0.1cos(10?t?3?) ⑶ 由10?(t?x10)??3|45t?0??3?解得：x?3?1.67m ⑷ 根据⑵的结果可作出旋转矢量图如题6.13图(a)，

则由P点回到平衡位置应经历的位相角

????3??2?56? ∴所属最短时间为：?t???5?/6??10??112s 6.14 如题6.14图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知P点的振动方程为

yP=A cos(?t??0)。

⑴ 分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程；

⑵ 写出距P点距离为b的Q点的振动方程。

解：⑴ 如题6.14图(a)，则波动方程为：y?Acos[?(t?lu?xu)??0] 如图(b)，则波动方程为：y?Acos[?(t?xu)??0]

⑵ 如题6.14图(a)，则Q点的振动方程为：AbQ?Acos[?(t?u)??0] 如题6.14图(b)，则Q点的振动方程为：AbQ?Acos[?(t?u)??0] 6.17 一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波的强度为18.0×10-3J/(m2·s)，频率为300 Hz，波速为300m/s，求波的平均能量密度和最大能量密度.

解： ∵I?wu, ∴ w?I10?3u?18.0?300?6?10?5J?m?3, w?4?3max?2w?1.2?10 J?m

6.18 如题6.18图所示，S1和S2为两相干波源，振幅均为A1，相距?4，S1较S2位相超前?2，求：

⑴ S1外侧各点的合振幅和强度；⑵ S2外侧各点的合振幅和强度

解：（1）在S1外侧，距离S1为r1的点，S1S2传到该P点引起的位相差为：?????????r??2?21?(r1?4)????，∴ A?A1?A1?0,I?A2?0 （2）在S2外侧.距离S2为r1的点，S1S2传到该点引起的位相差：

????2?2??(r2??4?r2)?0，∴ A?A221?A1?2A1,I?A?4A1

6.20 一平面简谐波沿x轴正向传播，如题6.20图所示。已知振幅为A，频率为?,波速为u。

⑴ 若t=0时，原点O处质元正好由平衡位置向位移正方向运动，写出此波的波动方程；

⑵ 若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求x轴上 因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置。

解： ⑴ ∵t?0时，y0?0,v0?0， ∴?0???x?2，故波动方程为：y?Acos[2??(t?u)?2]m

⑵ 入射波传到反射面时的振动位相为(即将x?34?代入)?2???34???2，再考虑到波由波疏入射而在波密界面上反射，存在半波损失，所以反射波在

界面处的位相为：?2???34???2????? 若仍以O点为原点，则反射波在O点处的位相为?2???34?????52?，因只考虑2?以内的位相角，∴反射波在O点的位相为??2，故反射波的

波动方程为：y?Acos[2??(t?xu)??反2]

y?Acos[2??(t?x)??]?Acos[2x?此时驻波方程为：u2??(t?u)?2] ?2Acos2??x?

ucos(2??t?2)故波节位置为：2??x?u?2??x?(2k?1)?2

故 x?(2k?1)4 (k?0,?1,?2,…)

根据题意，k只能取0,1，即x?14?,34? 6.23 两列波在一根很长的细绳上传播，它们的波动方程分别为

y1=0.06cos(?x?4?t)(SI), y2=0.06cos(?x?4?t)(SI)。

⑴ 试证明绳子将作驻波式振动，并求波节、波腹的位置； ⑵ 波腹处的振幅多大?x=1.2m处振幅多大? 解：⑴ 它们的合成波为：

y?0.06cos(?x?4?t)?0.06cos(?x?4?t)?0.12cos?xcos4?t

出现了变量的分离，符合驻波方程特征，故绳子在作驻波振动。 令?x?k?，则x?k，k=0,±1，±2…此即波腹的位置；

令?x?(2k?1)?,则x?(2k?1)122，k?0,?1,?2,…，此即波节的位置。

⑵波腹处振幅最大，即为0.12m；x?1.2 m处的振幅由下式决定，即：

A驻?0.12cos(??1.2)?0.097m

第7章 气体动理论基础 P218

7.20 设有N个粒子的系统，其速率分布如题7.20图所示。求 ⑴ 分布函数f(?)的表达式； ⑵ a与?0之间的关系； ⑶ 速度在1.5?0到2.0?0之间的粒子数。 ⑷ 粒子的平均速率。 (5) 0.5?0到?0区间内粒子平均速率。 解：⑴从图上可得分布函数表达式： Nf(?) ??Nf(?)?a?/?0(0????0)a ??Nf(?)?a(?0???2?0)， ?Nf(?)?0(??2?0)? ?a?/N??O ?0

2?0

0(0???0)f(?)???a/N(题7.20图

??0???2?0)

?0(??2?0)⑵ f(?)满足归一化条件，但这里纵坐标是N f(?)而不是f(?),故曲线下的总面

积为N. 由归一化条件：??0a?0N?d??Na?2N0?2?0?ad??N，可得03? 0⑶ 可通过面积计算

?N?a?(2?10?1.5?0)?3N

⑷N个粒子平均速率：

?????f(?)d??1?0N?0?Nf(?)d????0a?20?d??0?2?0?a?d?0 ?11

N(3a?232110?2a?0)?9?0(5) 0.5?0到?0区间内粒子数：N11?2(a?0.5a)(?)?3N0?0.5?08a?0?4 0.5?0到?0区间内粒子平均速率：

?0???0.5??dN0?dNN?N?01N?N?0?f(?)d?1?0.5?0NN1?0.5? 0??N?1?30a?20a?21a?0av31720N?d??d??(?)?a?0 10.5?0N?0N1?0.5?0?0N13?024?0N124??7a?207?N?069

7.21 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于?p-?p/100与?p+?p/100之间的分子数占总分子数的百分比。 解：令u??dN?，则麦克斯韦速率分布函数可表示为：

?4u2e?u2du PN?因为u=1,?u=0.02 由

?N?4?u2e?u2?u，得 ?N4N???1?e?1N?0.02?1.66% 7.22 容器中储有氧气，其压强为P=0.1MPa(即1atm)温度为27℃求： ⑴ 单位体积中的分子数n；⑵ 氧分子的质量m；⑶ 气体密度ρ；⑷ 分子间的平均距离e；(5) 平均速率?；(6)方根速率?2；(7)分子的平均动能?。 解：⑴ 由气体状态方程p?nkT得：

?pkT?0.1?1.013?105n1.38?10?23?300?2.45?1024m-3

⑵ 氧分子的质量：m?Mmol0.032N?.02?1023?5.32?1026 Kg 06⑶ 由气体状态方程pV?MMRT，得： mol??Mmolp0.032?0.1?1.013RT??1058.31?300?0.13kg?m?3

⑷ 分子间的平均距离可近似计算

e?13n?132.45?1024?7.42?10?9 m

(5) 平均速率：??1.60RT?1.608.31?300?446.58m?s?1M mol0.032