3.15 如题3.15图所示，质量为M，长为l的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴O无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上。现有一质量为m的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞。相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度??30°处。

⑴设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速v0的值； ⑵相撞时小球受到多大的冲量?

解：⑴ 设小球的初速度为v0，棒经小球碰撞后得到的初角速度为?，而小球的速度变为v，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：mv0l?I??mvl ①

1212122mv0?2I??2mv

②

上两式中I?Ml23，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度??30o，按机械能守恒定律可列式：

12I?2?Mgl2(1?cos30?) ③ 1由③式得：???2?Mgl?13g3?2?I(1?cos30?)??????l(1?2)?? 由①式得：v?vI?22I?20?ml ④ 由②式得：v?v0?m ⑤

所以：(vI?0?22Iml)?v0?m?2

求得：vl?Il16(2?3)gl3m?M0?2(1?ml?2(1?M2)3m)??12m ⑵相碰时小球受到的冲量为：?Fdt??(mv)?mv?mv0

由①式求得：?Fdt?mv?mvI?16(2?3)gl0??l??3Ml???6M 负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反。

3.17 一质量为m、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动。另一质量为m0的子弹以速度v0射入轮缘(如题3.17图所示方向)。 ⑴开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值? ⑵用m,m0和?表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比。

解：⑴ 射入的过程对O轴的角动量守恒： Rsin?m0v0?(m?m0)R2?

∴ ??m0v0sin?(m?m

0)R1[(m?mR2][m0v0sin?20)⑵ ER]k2(m?m0)m0sin2?E?m2? k00v02m?m03.18 弹簧、定滑轮和物体的连接如题3.18图所示，弹簧的劲度系数为2.0 N/m；定滑轮的转动惯量是0.5kg·m2，半径为0.30m ，问当6.0 kg质量的物体落下0.40m 时，它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长。

解：以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有：mgh?12mv2?12I?2?122kh 又

??v/R，

(2mgh?kh2)R2(2?6.0?9.8?0.4?2.0?0.42)?0.32故有：v?mR2?I?6.0?0.32?0.5 ?2.0m?s?1

第5章 机械振动

5.7 质量为10?10?3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按

x?0.1cos(8?t?2?3) (SI)的规律作谐振动，求：

⑴ 振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； ⑵ 最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? ⑶ t2?5s与t1?1s两个时刻的位相差；

解：⑴设谐振动的标准方程为x?Acos(?t??0)，则知：

A?0.1m,??8?,?T?2???14s,?0?2?/3

又v?1?12m??A?0.8?m?s ?2.51m?s，am??A?63.2m?s?2

⑵ F1m?mam?0.63N，E?2mv2m?3.16?10?2J Ep?Ek?1E?1.58?10?22J

当E?E2E12112kp时，有E?p，即：2kx?2?(2kA)

∴ x??22A??220m ⑶ ????(t2?t1)?8?(5?1)?32?

5.8 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示。如果t?0时质点的状态分别是：

⑴x0??A； ⑵ 过平衡位置向正向运动； ⑶过x?A2处向负向运动； ⑷过x??A2处向正向运动。 试求出相应的初位相，并写出振动方程。

解：因为??x0?Acos?0?v0???Asin?

0将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相。故有：?1??x?Acos(2?Tt??)， ?32??x?Acos(2?Tt?32?)

?3??3x?Acos(??22Tt?3)，

??5?44x?Acos(2?5Tt?4?)

5.9 一质量为10?10?3kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，

当t?0时位移为?24cm。求：

⑴t?0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； ⑵由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间； ⑶在x?12cm处物体的总能量。

解：由题已知A?24?10?2m,T?4.0s，∴ ??2?T?0.5? rad?s-1

又，t?0时，x0??A , ??0?0 故振动方程为：x?24?10?2cos(0.5?t)m

⑴ 将t?0.5s代入得：x?24?10?20.5cos(0.5?t)m?0.17m

F??ma??m?2x??10?10?3?(?2)2?0.17??4.2?10?3N

方向指向坐标原点，即沿x轴负向。

⑵ 由题知，t?0时，?0?0；t?t时，x0??A2,且v?0,故?t??3 ∴ t??????3/?22?3s ⑶ 由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为：

E?12kA2?12m?2A2?12?10?10?3(?2)2?(0.24)2?7.1?10?4J 5.10 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9cm。用这个弹簧和一个质量为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开

1.0cm后，给予向上的初速度v0?5.0cm/s，求振动周期和振动表达式。

解：由题知

k?m1gx?1.0?10?3?9.84.9?10?2?0.2N?m?1 1而t?0时，x?2?10?2m?s-10??1.0?10m,v0?5.0 ( 设向上为正)

又 ??k0.22?m?8?10?3?5 , 即T???1.26s ? A?x2?(v?0)2?(1.0?10?2)2?(5.0?10?2205)?2?10?2m

tan?v05.0?10?25?0??x??1.0?10?2?5?1 , 即?0?4 0∴ x?2?10?2cos(5t?54?)m

5.11 题5.11图为两个谐振动的x?t曲线，试分别写出其谐振动方程。

解：由题5.11图(a)，∵t?0时，

x0?0 , v0?0 , ? ?0?3?2 , 又 A?10cm , T?2s

即：??2?T??rad?s?1，故 x3a?0.1cos(?t?2?)m

由题5.11图(b)∵t?0时，xA5?0?2,v0?0,??0?3

tA5?1?0时，x0?2,v0?0,??0?3

又?5551???1?3??2?，∴ ??6?

故x55?b?0.1cos(6?t?3)m

5.12 一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子。现有一质量为m的物体从离盘底h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是

盘子开始振动。

⑴ 此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? ⑵ 此时的振动振幅多大?

⑶ 取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程。 解：⑴ 空盘的振动周期为2?Mk，落下重物后振动周期为2?M?mk，即增大。

⑵按⑶所设坐标原点及计时起点，t?0时，则x0??mgk。碰撞时，以

m,M为一系统动量守恒，即：m2gh?(m?M)v0

则有：vm2gh0?m?M，于是

2A?x2v0mgm2ghmg2kh0?(?)2?(k)2?k(m?M)?k1?(m?M)g

（3）tan?v00??x?2kh (第三象限)，所以振动方程为 0?(M?m)gx?mgk1?2kh(m?M)gcos??k?m?Mt?arctan2kh?(M?m)g??

5.13 有一单摆，摆长l?1.0m，摆球质量m?10?10?3kg，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水平向右的冲量F?t?1.0?10?4kg?ms，取打击时刻

为计时起点(t?0)，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程。 解：由动量定理，有：F??t?mv?0

∴ v?F??tm?1.0?10?41.0?10?3?0.01 m?s-1 按题设计时起点，并设向右为x轴正向，则知t?0时，x?10?0 , v0?0.01m?s ＞0，∴ ?0?3?/2

又??gl?9.81.0?3.13rad?s?1 ∴ A?x2?(v?0)2?v?0?0.0103.13?3.2?10?3m

故其角振幅：??Al?3.2?10?3rad

小球的振动方程为：??3.2?10?3cos(3.13t?32?)rad

5.14 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m，位相与第一振动π/6的位相差为，已知第一振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差。

解：由题意可做出旋转矢量题5.14图。由图知

A22?A21?A2?2A1Acos30??(0.173)2?(0.2)2?2?0.173?0.2?3/2，∴ A2?0.1m ?0.01设角AA2221O为?，则：A?A1?A2?2A1A2cos?

2即：cos??A221?A2?A(0.173)2?(0.1)2?(0.02)22A??0

1A22?0.173?0.1即???2，这说明，A1与A2间夹角为?2，即二振动的位相差为?2。 5.16 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为：

??x?0.4cos(??12t?6)m??x3cos(2t?5 2?0.6?)m试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方

程。

解：∵ ????6?(?56?)??， ∴ A合?A1?A2?0.1m ?tan??A1sin?0.4?sin6?0.3sin5?1?A2sin?26A?cos???3 1cos1?A220.4cos??0.3cos5?366∴ ???6

其振动方程为：x?0.1cos(2t??6)m

(作图法略)