第1章 质点运动学 P21

1.8 一质点在xOy平面上运动，运动方程为：x=3t+5, y=

12t2

+3t-4. 式中t以 s计，x,y以m计。⑴以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；

⑵求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；⑶

计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；⑷求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)。

解：（1）r??(3t?5)i??(1t2?3t?4)?2jm

⑵ t?1s,t?2s时，r???vvv1?8i?0.5j m；r2?11i?4jm

∴ ?rv?rvrvvv2?1?3i?4.5jm

⑶t?0s时，rvvvvvv0?5i?4j；t?4s时，r4?17i?16j

∴ vv??rvvvvv?t?r4?r012i?20jvv4?0?4?3i?5jm?s?1 v⑷ vv?drvvvt?3i?(t?3)vjm?s?1，则：vv4?3i?7j m?s?1d

(5) t?0s时，vvvvvvv0?3i?3j；t?4s时，v4?3i?7j

vvvv av??v?v4?v0?4j?1vj m?s?2 v?t44(6) av?dv?1vj m?s?2dt 这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。

1.9 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为a?2?6x2，a的单位为m/s2，

x的单位为m。质点在x=0处，速度为10m/s,试求质点在任何坐标处的速度值。

解：由a?dvdvdxdvdt?dxdt?vdx得：vdv?adx?(2?6x2)dx 两边积分

?vx10vdv??0(2?6x2)dx得：v22?2x?2x3?50

∴ v?2x3?x?25 m?s?1

1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为?=2+3t3，式中?以弧度计，t以秒计，求：⑴ t＝2 s时，质点的切向和法向加速度；⑵当加速度

的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?

解： ??d?dt?9t2,??d?dt?18t ⑴ t?2s时，a??R??1?18?2?36m?s?2

a222?2n?R??1?(9?2)?1296m?s

⑵ 当加速度方向与半径成45ο角时，有：tan45??a?an?1

即：R?2?R?，亦即(9t2)2?18t，解得：t3?29 则角位移为：??2?3t3?2?3?29?2.67rad 1.13 一质点在半径为0.4m的圆形轨道上自静止开始作匀角加速度转动，其角加速度为?=0.2 rad/s2，求t＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度。 解：t?2s时，???t?0.2?2?0.4 rad?s?1

则v?R??0.4?0.4?0.16m?s?1

a2)2?0.064m?s?2n?R??0.4?(0.4

a??R??0.4?0.2?0.08m?s?2

a?a2n?a?2?(0.064)2?(0.08)2?0.102m?s?2

与切向夹角??arctan(ana?)?0.0640.08?43?

第2章 质点动力学

2.10 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv(k为常数)作用，

t=0时质点的速度为v0，证明：⑴t时刻的速度为v=v?(k0em)t；⑵ 由0到t的

时间内经过的距离为x＝(mvk0?()tk)［1-em］；⑶停止运动前经过的距离为

vmm10(k)；⑷当t?k时速度减至v0的e，式中m为质点的质量。

解：f??kv，a?fm??kvm

⑴ 由a?dvkvdt得：dv?adt??mdt

分离变量得：dvv??kvdvt?kdtmdt，即?v?， 0v?0m因此有：lnv?lne?ktm， ∴ v?v?kt0emv 0⑵ 由v?dx?ktxt?ktdt得：dx?vdt?v0emdt，两边积分得：?dx??0vm00edt∴ x?mv

0k(1?e?kmt) ⑶ 质点停止运动时速度为零，v?v?k0emt?0，即t→∞，

故有：x????0v?k0emtdt?mv0k

⑷ t?mk时，其速度为：v?v?k0em?mk?v?10e?v0e，

即速度减至v0的1e.

2.13 作用在质量为10 kg的物体上的力为uFv?(10?2t)viN，式中t的单位是s，⑴ 求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量。⑵ 为了

使这力的冲量为200 N·s，该力应在这物体上作用多久，体和一个具有初速度?6?试就一原来静止的物

jm/s的物体,回答这两个问题。 解： ⑴ 若物体原来静止，则

??pt?4??1??0Fdt??0(10?2t)idt?56kg?m?s?1i,沿x轴正向，

?vvv?5.6m?s?1vi ；Ivvpv1??p1m1??1?56kg?m?s?1i

若物体原来具有?6vpmvvm?s?1初速，则

vm(?vvtvvtv0??0 , p?0??0Fm?dt)??mv0??0Fdt于是：??p??pt??v v??2?p?0??0Fdt??p1, 同理有：?v2??v1,I2?I1

这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理。

⑵ 同上理，两种情况中的作用时间相同，即：I??t0(10?2t)dt?10t?t2

亦即：t2?10t?200?0， 解得t?10s，(t??20s舍去2.17 设F??7?i?6?jNr???3?)

i?4?j?16k?m时，求F?合。⑴ 当一质点从原点运动到所作的功。⑵ 如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率。⑶ 如果

质点的质量为1kg，试求动能的变化。解： ⑴ 由题知，?v

∴ AFv??rvF合?(7v为恒力，且i?6vj)?(?3vr0?i?4v0

j?16kv合?)??21?24??45J

⑵ P?A?t?450.6?75w ⑶ 由动能定理，?Ek?A??45J

2.20 一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为

k2的轻弹簧B，B的下端又挂一重物C，C的质量为M，如

图。求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比。 解： 弹簧A、B及重物C受力如题2.20图所示平衡时，有： FA?FB?Mg ，

又 FA?k1?x1，FB?k2?x2

所以静止时两弹簧伸长量之比为：?x1?x2?k2k1 弹性势能之比为：

Ep1E?12?k1?x21k2p212?k?x2?22k1

第3章 刚体力学基础

3.7 一质量为m的质点位于(xvvv1,y1)处，速度为v?vxi?vyj, 质点受到一个沿x负方向的力f的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩。

解： 由题知，质点的位矢为：r??x??1i?y1j

作用在质点上的力为：?f??f?i

所以，质点对原点的角动量为：

Lvvvvvvvv0?r?mv?(x1i?y1j)?m(vxi?vyj)?(x1mvy?y1mvx)k

作用在质点上的力的力矩为：M????i?y???0?r?f?(x11j)?(?fi)?y1fk

3.8 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近距离为r1＝8.75×1010m 时的速率是v1＝5.46×104m/s，它离太阳最远时的速率是v2＝9.08×102 m/s,这时它离太阳的距离r2是多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。) 解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力，即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有：r1v18.75?1010?5.46?104r1mv1?r2mv2 ∴ r2?v?2?5.26?1012m 29.08?103.9 物体质量为3kg，t=0时位于r??4?im,vv?vi?6vj(m/s)，如一恒力?f?5?jN作用在物体上,求3秒后，⑴ 物体动量的变化；⑵ 相对z轴角动量的变化。

解：⑴ ??p???fdt??305?jdt?15?jkg?m?s?1

⑵ 解法(一) 由va?vfm?53 vjN得：x?x0?v0xt?4?tt?3?4?3?7my?v?1at2?6t?5t2?6?3?1?5?32v0yt26?25.5j

t?即有：r???7?3i?25.5?231?4i,r2?j

vx?v0x?1；vy?v0y?at?6?53?3?11即有：vuuvv?6vuuvvv

2?i1∴ Lvuvj,v2v?i?v11jv

v Lv?rvv1?mvu1u1uv?4i?3(i?6j)?72k ?(7vi?25.5vj)?3(vi?11vv2?r2?mv2j)?154.5k

∴ ?L??L????2?12?L1?82.5kkg?Lvm?s

??t0Mv?dt??t0(rv?ufv)dt解法(二) ∵uMuv?duLvdt， ∴ ??3?0??(4?t)vi?(6t?12)?5t2)vj???5vjdt ??35(4?t)kvdt?82.5kv3?kg?m2?s?103.10 平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为M1的重物。小球作匀速圆周运动，当半径为r0时重物达到平衡。今在M1的下方再挂一质量为M2的物体，如题3.10??图。试问这时小球作匀速圆周运动的角速度和半径r?为多少?

解：只挂重物M1时，小球作圆周运动，向心力为

M1g，即：M1g?mr20?0 ①

挂上M22后，则有：

(M1?M2)g?mr??? ② 重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒。

即：rv2?r?20m0?r?mv??r0?0?? ③

联立①、②、③得：?MM21g1g0?mr，???(M1?M2)3， 0mr0M1 r??M11?M2M1m??2g?(M?M)3?r0 123.11 飞轮的质量m＝60kg，半径R

＝0.25m，绕其水平中心轴O转动，转

速为900 rev/min。现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力F，可使飞轮减速。已知闸杆的尺寸如题3.11图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数?=0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算。试求：

⑴ 设F＝100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转? ⑵ 如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力F?

解：⑴ 先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b))。图中N、N?是正压力，

Fr、Fr?是摩擦力，Fx和Fy是杆在A点

转轴处所受支承力，R是轮的重力，

P是轮在O轴处所受支承力。

杆处于静止状态，所以对A点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有：

F(l1?l2)?N?l1?0， N??(l1?l2)Fl1

对飞轮，按转动定律有???FrRI，式中负号表示?与角速度?方向相反。 ∵ F，N?N?∴ Fl?l2r??N r??N???1lF 1又∵ I?1FR2?(l1?l2)2mR2，∴???rI??mRlF ① 1以F?100N等代入上式，得：

???2?0.40?(0.50?0.75)0.25?0.50?100??403rad?s?260?

由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为：

t???0??900?2??360?40?7.06s 这段时间内飞轮的角位移为：

????1900?2?914090t2? t2?60?4??2?3?(4?)2?53.1?2?rad

可知在这段时间里，飞轮转了53.1转。 ⑵??0?900?260rad?s?1，要求飞轮转速在t?2s内减少一半，可知 ???02??0?15t??02t???2rad?s?2

用上面式⑴所示的关系，可求出所需的制动力为：

F??mRl1?2?(l?l?60?0.25?0.50?15?(0.50?0.75)?2?177N

12)2?0.40?3.13 计算题3.13图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为M，半径为r，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设m1=50kg，m2=200 kg，M=15 kg，r=0.1 m

解：分别以m1、m2滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对m1、m2运用牛顿定律，有：m2g?T2?m2a ；T1?m1a

对滑轮运用转动定律，有：T12r?T1r?(2Mr2)? 又a?r? 由以上4个方程解得：a?m2gmm2?200?9.85?200?152?7.6 m?s?2

1?2?M

题3.13(a)图 题3.13(b)图

3.14 如题3.14图所示，一匀质细杆质量为m，长为l，可绕过一端O的水

平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下。求： ⑴ 初始时刻的角加速度；⑵ 杆转过?角时的角速度. 解：⑴ 由转动定律有：mg12l?(13ml2)?， ∴ ??3g2l ⑵ 由机械能守恒定律有：

mglsin??1(1ml2)?2 ∴ ??3gsin?223l