解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交ED于N，则A′A″即为△AMN的周
长最小值．
⑴作EA延长线的垂线，垂足为H，∠BAE＝120°，∴∠AA′A″＋∠AA″A′＝60°， ∠AA′A″＝∠A′AM，∠AA″A′＝∠EAN，∴∠CAN＝120°－∠AA′A″－∠AA″A′＝60°， 也就是说∠AMN＋∠ANM＝180°－60°＝120°. ⑵过点A′作EA延长线的垂线，垂足为H，
∵AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，∴AA′＝2BA＝2，AA″＝2AE＝4， 则Rt△A′HA中，∵∠EAB＝120°，∴∠HAA′＝60°，
∵A′H⊥HA，∴∠AA″H＝30°，∴AH＝AA′＝1，∴A′H＝3，A″H＝1＋4＝5， ∴A′A″＝27，
例题4、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE＝1，长为2的线段MN在AC上运动． (1)求四边形BMNE周长最小值；
(2)当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值为 ．
12
解：作EF∥AC且EF＝2，连结DF交AC于M，在AC上截取MN＝2，延长DF交BC于P，
作FQ⊥BC于Q，作出点E关于AC的对称点E′，则CE′＝CE＝1，将MN平移至E′F′处， 则四边形MNE′F′为平行四边形，
当BM＋EN＝BM＋FM＝BF′时，四边形BMNE的周长最小， 由∠FEQ＝∠ACB＝45°，可求得FQ＝EQ＝1，
∵∠DPC＝∠FPQ，∠DCP＝∠FQP，∴△PFQ∽△PDC， ∴
1PQPQPQ28＝，∴＝，解得：PQ＝，∴PC＝，
4PQ?QE?ECPQ?2CD332由对称性可求得tan∠MBC＝tan∠PDC＝．
3
例题5、在平面直角坐标系中，已知点A(一2，0)，点B(0，4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．如
图，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连接A'B、BE'．当AB＋BE'取得最小值时，求点E'的坐标．
【提示】
将△AEO向右平移转化为△AEO不动，点B向左平移，则点B移动的轨迹为一平行于x轴的直线，所以作点E关于该直线的对称点E1，连接AE1，与该直线交点F即为最小时点B的位置，求出BF长度即可求出点E向右平移的距离．
例题6、如图，已知正比例函数y＝kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0，
4)，P为y轴上的一个动点，M、N为函数y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN的最小值为 ．
解：如图所示，直线OC、y轴关于直线y＝kx对称，直线OD、直线y＝kx关于y轴对称，点A′是点A关
于直线y＝kx的对称点．
作A′E⊥OD垂足为E，交y轴于点P，交直线y＝kx于M，作PN⊥直线y＝kx垂足为N， ∵PN＝PE，AM＝A′M，∴AM＋PM＋PN＝A′M＋PM＋PE＝A′E最小(垂线段最短)， 在RT△A′EO中，∵∠A′EO＝90°，OA′＝4，∠A′OE＝3∠AOM＝60°， ∴OE＝OA′＝2，A′E＝42?22＝23． ∴AM＋MP＋PN的最小值为23．
【巩固练习】
1、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为 ．
12
2、在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F、P分别是边AB、BC、AC上的动点，PE＋PF的最小值是 ．
3、如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为 ．
4、如图，钝角三角形ABC的面积为9，最长边AB＝6，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值为 ．
5、如图，在△ABC中，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，
(1)若AC＝4，S△ABC＝6，则BD＋DE的最小值为
(2)若∠BAC＝30°，AB＝8，则BD＋DE的最小值为 ．
(3)若AB＝17，BC＝10，CA＝21，则BD＋DE的最小值为 ．
AEDBMC
6、如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，S△ABC＝43，点P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意一点，则PK＋QK的最小值为 ．
7、如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，则PM＋PN的最小值为 ．
MNBAOP
8、如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是 ．
9、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm．