最值问题之将军饮马问题

最值问题是老师们最爱考的热门题型之一，综合性较强，需要一定的基本功，一般考察时一般放在压轴位置。 模型讲解 【基本模型】

问题：在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小

解析：连接AB，与直线l交点即为点P(两点之间线段最短) 【拓展模型1】

问题：在直线/上找一点P，使得PA＋PB的值最小

解析：点A作关于l的对称点A'，连接BA'，与直线l的交点即为点P，此时PA＋PB的最小值即为线段

BA′的长度．

【练习】

1、尺规作图：在直线MN上找一点P，使得∠APN＝∠BPN．(保留作图痕迹)

【模型拓展2】

1、如图，已知点P为定点，定长线段AB在直线MN上运动，在什么位置时，PA＝PB最小？

思维转化：将线段AB移动，点P不动，理解为线段AB不动，点P在直线CD上移动，将模型转化为

最基本模型

【模型拓展3】

问题：∠MON内一定点A，点P、Q分别为OM、ON上的动点，求△APQ周长的最小值．

解析：点A作关于ON 和OM的对称点A1、A2，，连接A1A2，与ON、OM交点即为Q、P，线段A1A2的长

度即为△APQ周长的最小值．

基本结论：

①△A1OA2必为等腰三角形，且腰长等于线段OA的长． ②∠A1OA2＝2∠MON．

四边形ABPQ周长最小的模型，最小值即为线段AB＋A'B'的长度和．

【模型拓展4】

问题：求AB＋BC＋CD的最小值问题

解析：作点A关于ON的对称点A'，点D关于OM的对称点D′，连接A'D′，最小值即为线段A'D'

的长度．

(作点A和点D的对称点的过程中，也可以直接将OM、ON整个对称过去，使得图形更加完整)

【模型拓展5】

MN垂直两平行线，求AM＋MN＋NB的最小值模型．

其中MN为定值，故只需求AM＋NB的最小值，将点A向下平移MN的长度得到A′，连接A′B，线段A′B的长度即为AM＋NB的最小值

直线l上有一长度不变线段MN移动，求AM＋MN＋NB最小值的模型．

将A点向右平移MN的长度，以此转化为基本模型，最小值即为MN＋A2B

【例题讲解】

例题1、如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，3)，

点C的坐标为(，0)，点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为 ．

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解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，

则此时PA＋PC的值最小，

∵DP＝PA，∴PA＋PC＝PD＋PC＝CD，∵B(3，3)，∴AB＝3，OA＝3， ∵tan∠AOB＝

3AB＝，∴∠AOB＝30°，∴OB＝2AB＝23，

3OA12123232由三角形面积公式得：×OA×AB＝×OB×AM，∴AM＝，∴AD＝2×＝3， ∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°， ∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN＝AD＝，由勾股定理得：DN＝121232123233， 2∵C(，0)，∴CN＝3﹣﹣＝1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC＝31， 2即PA＋PC的最小值是

【思考】

31． 2若把题中条件点“C的坐标为(，0)”改为“点C为OA边上一动点”，其它条件不变，那么此时PA＋PC最小值又是多少呢？

解答：∵PA＋PC＝PC＋PD＝CD≥DN＝333，∴PA＋PC的最小值为3． 2212

例题2、某长方体的长、宽、高分别为4、3、5，

(1)如图1，点A、B分别为该长方体的两个顶点，已知蚂蚁从点A沿长方体侧面爬到点B，则最短路线长是多少？

(2)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短长度是 ．

(3)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕三圈到达点C，那么所用细线最短长度是 ．

(4)如图3，已知圆柱高4米，底面周长1米．如果用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈(如图)，那么螺旋形花圈的长至少 米．

答案：

(1)74 (2)221 (3)1789 (4)9?2?16

例题3、如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在

BC、DE上分别找一点M、N．

(1)当△AMN的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝ ； (2)求△AMN的周长最小值．