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所以．

直线的方程为则所以

，

，点的坐标为

．

．

，

，

， ， ，

．

所以与共线， 所以，，三点共线． 综上所述，，，三点共线．

【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 21.已知函数（1）若

.

在点在区间

处的切线方程； 内的极大值的个数． ，

．

（ⅰ）求曲线（ⅱ）求函数（2）若

在

内单调递减，求实数的取值范围．

；（ⅱ）1；（2）

．

【答案】（1）（ⅰ）【解析】 【分析】

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（1）（ⅰ）求出导函数，得到在区间（2）由题可知

，

与，利用点斜式得到直线的方程；（ⅱ）研究函数

内单调性，结合极值的定义得到答案；

，其中

，分两类情况：

与

结合函数的单调性与极值即可得到实数的取值范围． 【详解】（1）（ⅰ）因为所以又因为所以曲线化简得（ⅱ）当当所以又因为所以在当变化时， 所以

在

内单调递增，在在

内单调递减，此时

有唯一极大值．

↗ 在

时，时，设

内单调递减． ，

内存在唯一的

，

的变化如下表 0 ↘ ， ，使得

．

， 在点

处的切线方程为． ，，则

单调递增，此时

无极大值．

， ，

，

， ．

综上所述，内的极大值的个数为．

，其中

．

（2） 由题可知

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当下面设对于所以所以当设则所以

时，．

，

，故在内单调递减；

，且

．

，

时，

，

，

．

在

上单调递减． ，

． 时，

，对

．

当所以当所以因为所以对所以所以当综上可得

在

时，在

，

时，即在时，即，使

内单调递减， ，

，，

内单调递增，不符合题意．

时，，

，

，

，所以．

内单调递增，不符合题意．

在

内不单调递减．

，

．

故的取值范围为

【点睛】本题考查了导数的几何意义及导数的综合应用，同时考查了数形结合的数学思想与分类讨论的思想，属于中档题． 22.设为正整数，各项均为正整数的数列

定义如下：

，

（1）若

，写出，，；

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（2）求证：数列单调递增的充要条件是为偶数；

（3）若为奇数，是否存在满足？请说明理由．

【答案】（1），

，

；（2）证明见解析；（3）存在，理由见解析．

【解析】 【分析】 （1）时，结合条件，注意求得，，

；

（2）根据与零的关系，判断数列

单调递增的充要条件；

（3）存在满足

. 【详解】（1）

，，

．

（2）先证“充分性”． 当为偶数时，若为奇数，则为奇数．

因为为奇数，所以归纳可得，对

，均为奇数，则

，

所以，

所以数列

单调递增．

再证“必要性”． 假设存在使得为偶数，则，与数列

单调递增矛盾，

因此数列中的所有项都是奇数．

此时，即，所以为偶数．

（3）存在满足

，理由如下：

因为

，为奇数，所以

且为偶数，

．

假设为奇数时， ；为偶数时，

． 当为奇数时，，且为偶数；

当为偶数时，． 所以若为奇数，则

；若为偶数，则．

因此对都有

．

所以正整数数列中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项．

设集合，设集合

．

因为

，所以．

令是中的最小元素，下面证

．

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设当当所以若所以

且时，时，

，则，且存在

． ，，且

满足

，所以

，所以

；

．

，与是中的最小元素矛盾．

，即存在

满足

．

【点睛】本题考查数列的递推关系，考查数列的单调性，考查学生分析问题及解决问题得能力，属于难题．

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