运筹学(第3版) 习题答案 1
运筹学1至6章习题参考答案
第1章 线性规划
1.1 工厂每月生产A、B、C三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．
表1－23 产品 资源 材料(kg) 设备(台时) 利润(元/件) A 1.5 3 10 B 1.2 1.6 14 C 4 1.2 12 资源限量 2500 1400 根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是150、260和120,最高月需求是250、310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．
【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为
maxZ?10x1?14x2?12x3?1.5x1?1.2x2?4x3?2500?3x?1.6x?1.2x?140023?1? ?150?x1?250??260?x2?310?120?x3?130???x1,x2,x3?01.2 建筑公司需要用5m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格
及数量如表1－24所示：
每套窗架需要材料 表1－24 窗架所需材料规格及数量 型号A 型号B 长度（m） A1：2 A2：1.5 需要量（套） 数量(根) 2 3 300 长度(m) B1：2.5 B2：2 400 数量(根) 2 3 问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少． 【解】 第一步：求下料方案，见下表。 方案 B1 B2 A1 A2 2.5 2 2 1.5 一 2 0 0 0 二 三 四 五 六 七 八 九 十 需要量 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 0 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 3 0.5 800 1200 600 900 0.5 0.5 1 1 1 0 余料(m) 0 第二步：建立线性规划数学模型 设xj（j=1,2,…，10）为第j种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为
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minZ??xjj?1?2x1?x2?x3?x4?800??x2?2x5?x6?x7?1200 ??x3?x6?2x8?x9?600?x?2x?2x?3x?9007910?4??xj?0,j?1,2,,10（2）余料最少数学模型为
minZ?0.5x2?0.5x3?x4?x5?x6?x8?0.5x10?2x1?x2?x3?x4?800??x2?2x5?x6?x7?1200??x3?x6?2x8?x9?600?x?2x?2x?3x?9007910?4??xj?0,j?1,2,,10
1.3某企业需要制定1～6月份产品A的生产与销售计划。已知产品A每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。1～6月份产品A的单件成本与售价如表1－25所示。
表1－25 1 2 3 4 5 6 月份 产品成本(元/件) 300 330 320 360 360 300 销售价格(元/件) 350 340 350 420 410 340 （1）1～6月份产品A各生产与销售多少总利润最大，建立数学模型； （2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。 【解】设xj、yj（j＝1，2，?，6）分别为1～6月份的生产量和销售量，则数学模型为
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maxZ??300x1?350y1?330x2?340y2?320x3?350y3?360x4?420y4?360x5?410y5?300x6?340y6?x1?800??x1?y1?x2?800?x1?y1?x2?y2?x3?800??x1?y1?x2?y2?x3?y3?x4?800?x?y?x?y?x?y?x?y?x?800233445?112?x1?y1?x2?y2?x3?y3?x4?y4?x5?y5?x6?800（1）???x1?y1?200??x?y?x?y?2002?112??x1?y1?x2?y2?x3?y3?200???x1?y1?x2?y2?x3?y3?x4?y4?200??x1?y1?x2?y2?x3?y3?x4?y4?x5?y5?200???x1?y1?x2?y2?x3?y3?x4?y4?x5?y5?x6?y6?200?x,y?0;j?1,2,,6?jj
（2）目标函数不变，前6个约束右端常数800改为1000，第7～11个约束右端常数200改为0，第12个约束“≤200”改为“＝－200”。
1.4 某投资人现有下列四种投资机会, 三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资： 方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是20％，下一年可继续将本息投入获利；
方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是50％，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过2万元；
方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是60％，这种投资最多不超过1.5万元；
方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是30％，这种投资最多不超过1万元．
投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型. 【解】是设xij为第i年投入第j项目的资金数，变量表如下 第1年 第2年 第3年 数学模型为
项目一 x11 x21 x31 项目二 x12 项目三 x23 项目四 x34 运筹学(第3版) 习题答案 4
maxZ?0.2x11?0.2x21?0.2x31?0.5x12?0.6x23?0.3x34?x11?x12?30000???1.2x11?x21?x23?30000??1.5x12?1.2x21?x31?x34?30000???x12?20000?x?15000?23?x34?10000???xij?0,i?1,,3;j?1,4最优解X=(30000，0，66000，0，109200，0)；Z＝84720
1.5 炼油厂计划生产三种成品油，不同的成品油由半成品油混合而成，例如高级汽油可以由中石脑油、重整汽油和裂化汽油混合，辛烷值不低于94，每桶利润5元，见表1－26。
表1－26 成品油 高级汽油 中石脑油 重整汽油 裂化汽油 ≥94 一般汽油 中石脑油 重整汽油 裂化汽油 ≥84 ≤1 航空煤油 轻油、裂化油、重油、残油 一般煤油 轻油、裂化油、重油、残油按10:4:3:1调合而成 1.5
半成品油 辛烷值 蒸汽压：公斤／平方厘米 利润(元/桶) 5 4.2 3 半成品油的辛烷值、气压、及每天可供应数量见表1－27。 表1－27
1中石脑油 2重整汽油 3裂化汽油 4轻油 5裂化油 6重油 半成品油 80 115 105 辛烷值 蒸汽压：公斤／ 1.0 1.5 0.6 平方厘米 每天供应数量2000 1000 1500 1200 1000 1000 (桶) 问炼油厂每天生产多少桶成品油利润最大，建立数学模型。 解 设xij为第i（i＝1,2,3,4）种成品油配第j(j=1,2,?,7)种半成品油的数量（桶）。 总利润：
7残油 0.05 800 Z?5(x11?x12?x13)?4.2(x21?x22?x23)?3(x34?x35?x36?x37)?1.5(x44?x45?x46?x47)高级汽油和一般汽油的辛烷值约束
80x11?115x12?105x1380x21?115x22?105x23?94,84??94
x11?x12?x13x21?x22?x23航空煤油蒸气压约束
x34?1.5x35?0.6x36＋0.05x37?1
x34?x35?x36＋x37一般煤油比例约束
x44:x45:x46:x47?10:4:3:1
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即
x4410x454x463?,?,? x454x463x471半成品油供应量约束
x11?x21?2000x12?x22?1000x13?x23?1500x34?x44?1200 x35?x45?1000x36?x46?1000x37?x47?800整理后得到
maxZ?5x11?5x12?5x13?4.2x21?4.2x22?4.2x23?3x34?3x35?3x36?3x37?1.5x44?1.5x45?1.5x46?1.5x47??14x11?21x12?11x13?0???14x21?21x22?11x23?0??4x21?31x22?21x23?0??0.5x35?0.4x36?0.95x37?0?4x?10x?045?44?3x45?4x46?0??x46?3x47?0??x11?x21?2000?x?x?1000?1222?x13?x23?1500??x34?x44?1200?x35?x45?1000??x36?x46?1000?x?x?800?3747??xij?0;i?1,2,3,4;j?1,2,,71.6 图解下列线性规划并指出解的形式：
maxZ?5x1?2x2?2x1?x2?8?(1) ?x1?3??x2?5??x1,x2?0
【解】最优解X＝（3，2）；最优值Z=19
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maxZ?x1?4x2?x1?4x2?5?(2) ?x1?3x2?2??x1?2x2?4??x1,x2?0
【解】有多重解。最优解X
（1）
＝（0，5/4）；X
（2）
＝（3，1/2）最优值Z=5
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minZ??3x1?2x2?x1?2x2?11??x?4x?1012(3)???2x1?x2?7?x?3x?12?1??x1,x2?0
【解】最优解X＝（4，1）；最优值Z=－10，有唯一最优解
minZ?4x1?6x2?x1?2x2?8?(4) ?x1?x2?8?x2?3???x1?0,x2?0
【解】最优解X＝（2，3）；最优值Z=26，有唯一最优解
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maxZ?x1?2x2?x1?x2?2?(5) ?x1?3??x2?6??x1,x2?0【解】无界解。
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minZ?2x1?5x2 (6)
?x1?2x2?6??x1?x2?2?x,x?0?12
【解】无可行解。
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1.7 将下列线性规划化为标准形式 minZ?x1?6x2?x3?x1?x2?3x3?15 (1) ?
?5x1?7x2?4x3?32??10x1?3x2?6x3??5??x1?0,x2?0,x3无限制'''【解】（1）令x3?x3?x3,x4,x5,x6为松驰变量 ，则标准形式为 '''maxZ??x1?6x2?x3?x3'''?x1?x2?3x3?3x3?x4?15?'''?5x1?7x2?4x3?4x3?x5?32 ?'''??10x1?3x2?6x3?6x3?x6?5'''??x1,x2,x3,x3,x4,x5,x6?0minZ?9x1?3x2?5x3?|6x1?7x2?4x3|?20? (2) ?x1?5
??x1?8x2??8??x1?0,x2?0,x3?0【解】（2）将绝对值化为两个不等式，则标准形式为
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maxZ???9x1?3x2?5x3?6x1?7x2?4x3?x4?20??6x?7x?4x?x?201235? ?x?x?5?16??x?8x?82?1??x1,x2,x3,x4,x5,x6?0maxZ?2x1?3x2?1?x1?5 (3)???x1?x2??1?x?0,x?02?1【解】方法1：
maxZ?2x1?3x2?x1?x3?1?x?x?5 ?14??x1?x2?1??x1,x2,x3,x4?0??x1?1,有x1＝x1??1,x1??5?1?4 方法2：令x1??1)?3x2maxZ?2(x1??4?x1???1)?x2??1??(x1?x,x?0?12则标准型为
??3x2maxZ?2?2x1??x3?4?x1???x2?0??x1?x?,x,x?0?123
maxZ?min(3x1?4x2,x1?x2?x3)?x1?2x2?x3?30?(4) ?4x1?x2?2x3?15
??9x1?x2?6x3??5?x1无约束,x2、x3?0?【解】令y?3x1?4x2,y?x1?x2?x3,x1?x1??x1??，线性规划模型变为
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maxZ?y??x1??)?4x2?y?3(x1?y?x??x???x?x1123????x1???2x2?x3?30 ?x1???x1??)?x2?2x3?15?4(x1?9(x1??x1??)?x2?6x3??5??,x1??,x2、x3?0??x1标准型为
maxZ?y??3x1???4x2?x4?0?y?3x1?y?x??x???x?x?x?011235????x1???2x2?x3?x6?30 ?x1???4x1???x2?2x3?x7?15?4x1??9x1??9x1???x2?6x3?x8?5??,x1??,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8?0??x1
1.8 设线性规划
maxZ?5x1?2x2?2x1?2x2?x3?40 ?4x?2x?x?60?124?x?0,j?1,,4?j?21??20?取基B1??分别指出B1和B2对应的基变量和非基变量，求出基本?、B2＝??21?，40????解，并说明B1、B2是不是可行基．
【解】B1：x1、x3为基变量，x2、x4为非基变量,基本解为X=（15，0，10，0）T，B1是可行基。B2：x2、x4是基变量，x1、x3为非基变量，基本解X=（0，20，0，100）T，B2是可行基。
1.9分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划，指出单纯形法迭代的每一步的基可行解对应于图形上的那一个极点．
maxZ?x1?3x2 (1)???2x1?x2?2
?2x1?3x2?12?x,x?0?12【解】图解法
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单纯形法： C(j) C(i) 0 0 3 0 3 1 对应的顶点： Basis X3 X4 X2 X4 X2 X1 1 X1 -2 2 1 -2 [8] 7 0 1 0 基可行解 3 X2 [1] 3 3 1 0 0 1 0 0 0 X3 1 0 0 1 -3 -3 0.25 -0.375 -0.375 0 X4 0 1 0 0 1 0 0.25 0.125 -0.875 b 2 12 0 2 6 6 7/2 3/4 45/4 Ratio 2 4 M 0.75 C(j)-Z(j) C(j)-Z(j) C(j)-Z(j) 可行域的顶点 、X(1)=（0，0，2，12） 、X(2)=（0，2，0，6，） （0，0） （0，2） 37,,0,0)、 423745最优解X?(,),Z?
424X(3)=（
37(,) 42运筹学(第3版) 习题答案 14
minZ??3x1?5x2
?x1?2x2?6? (2) ?x1?4x2?10?
?x1?x2?4??x1?0,x2?0
【解】图解法
单纯形法： C(j) Basis X3 X4 X5 C(j)-Z(j) X3 X2 X5 C(j)-Z(j) X1 X2 X5 C(j)-Z(j) X1 X2 X4 C(j)-Z(j) -3 -5 0 -3 -5 0 0 -5 0 C(i) 0 0 0 -3 X1 1 1 1 -3 [0.5] 0.25 0.75 -1.75 1 0 0 0 1 0 0 0 -5 X2 2 [4] 1 -5 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 X3 1 0 0 0 1 0 0 0 2 -0.5 -1.5 3.5 -1 1 -3 2 0 X4 0 1 0 0 -0.5 0.25 -0.25 1.25 -1 0.5 [0.5] -0.5 0 0 1 0 0 X5 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 -1 2 1 b 6 10 4 0 1 2.5 1.5 -12.5 2 2 0 -16 2 2 0 -16
Ratio 3 2.5 4 2 10 2 M 4 0 运筹学(第3版) 习题答案 15
对应的顶点： 基可行解 X(1)=（0，0，6，10，4） 、X(2)=（0，2.5，1，0，1.5，） X(3)=（2，2，0，0，0） X(4)=（2，2，0，0，0） 、可行域的顶点 （0，0） （0，2.5） (2，2) （2，2） 最优解：X=（2，2，0，0，0）；最优值Z＝－16 该题是退化基本可行解，5个基本可行解对应4个极点。
1.10用单纯形法求解下列线性规划
maxZ?3x1?4x2?x3?2x1?3x2?x3?4(1)??x1?2x2?2x3?3?x?0,j?1,2,3?j【解】单纯形表： C(j) Basis X4 X5 C(j)-Z(j) X2 X5 C(j)-Z(j) X1 X5 C(j)-Z(j) 3 0 4 0 C(i) 0 0 3 X1 2 1 3 [2/3] -1/3 1/3 1 0 0
4 X2 [3] 2 4 1 0 0 3/2 1/2 -1/2 1 X3 1 2 1 1/3 4/3 -1/3 1/2 3/2 -1/2 0 X4 1 0 0 1/3 -2/3 -4/3 1/2 -1/2 -3/2 0 X5 0 1 0 0 1 0 0 1 0 R. H. S. 4 3 0 4/3 1/3 －16/3 2 1 -6 Ratio 4/3 3/2 2 M 最优解：X=（2，0，0，0，1）；最优值Z＝6
maxZ?2x1?x2?3x3?5x4?x1?5x2?3x3?7x4?30? (2) ?3x1?x2?x3?x4?10??2x1?6x2?x3?4x4?20?xj?0,j?1,,4?【解】单纯形表： C(j) Basis X5 X6 X7 C(i) 0 0 0
2 X1 1 3 2 1 X2 5 -1 -6 -3 X3 3 [1] -1 5 X4 -7 1 [4] 0 X5 1 0 0 0 X6 0 1 0 0 X7 0 0 1 R. H. S. Ratio 30 10 20 M 10 5 运筹学(第3版) 习题答案 16
C(j)-Z(j) X5 X6 X4 C(j)-Z(j) X5 X2 X4 C(j)-Z(j) 0 1 5 0 0 5 2 9/2 1 -3 5 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 65 M -11/2 5/4 5/2 1/2 -1/2 32 5 8 -43 [1/2] 5/4 -3/2 -1/4 17/2 -7/4 0 1 0 0 15 5/2 7/2 -23 0 1 0 0 0 1 0 0 0 11 -1 2 -1/2 3 -1/2 -17 3 7/4 -1/4 1/4 -5/4 5 5 120 10 20 10 M M 10 M 因为λ7＝3>0并且ai7<0(i=1,2,3)，故原问题具有无界解，即无最优解。
maxZ?3x1?2x2?18x3??x1?2x2?3x3?4? (3)?4x1?2x3?12??3x1?8x2?4x3?10??x1,x2,x3?0【解】 C(j) Basis X4 X5 X6 C(j)-Z(j) X4 X1 X6 C(j)-Z(j) X4 X1 X2 0 3 2 0 3 0 C(i) 0 0 0 3 X1 -1 [4] 3 3 0 1 0 0 0 1 0 2 X2 2 0 8 2 2 0 [8] 2 0 0 1 -0.125 X3 3 -2 4 -1/8 5/2 -1/2 11/2 11/8 9/8 -1/2 [11/16] 0 X4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 X4 1 0 0 0 0 X5 0 1 0 0 1/4 1/4 -3/4 -3/4 7/16 1/4 -3/32 -9/16 0 X5 13/22 2/11 -3/22 -9/16 0 X6 0 0 1 0 0 0 1 0 -1/4 0 1/8 -1/4 0 X6 -5/11 1/11 2/11 -1/4 R. H. S. 4 12 10 0 7 3 1 9 27/4 3 1/8 Ratio M 3 10/3 3.5 M 1/8 6 M 0.181818 Ratio 6 M 0.1818
C(j)-Z(j) 0 0 0 X3进基、X2出基，得到另一个基本最优解。 37/4 R. H. S. 72/11 34/11 2/11 37/4 Basis X4 X1 X3 C(j) 3 X1 0 1 0 0 2 X2 -18/11 8/11 16/11 0 -0.125 X3 0 0 1 0 0 3 -0.125 C(j)-Z(j) 原问题具有多重解。 基本最优解X(1)1273427237?(3,,0,,0)及X(2)?(,0,,,0)T;Z?,最优解的通解可表
841111114运筹学(第3版) 习题答案 17
示为X?aX(1)?(1?a)X(2)即
X?(
3411227272?a,a,?a,?a,0)T,(0?a?1) 1111811111111maxZ?3x1?2x2?x3?5x1?4x2?6x3?25（4）?
8x?6x?3x?24?123?x?0,j?1,2,3?j【解】单纯形表： C(j) Basis X4 X5 C(j)-Z(j) X4 X1 0 3 C(i) 0 0 3 X1 5 [8] 3 0 1 2 X2 4 6 2 1/4 1 X3 6 3 1 33/8 3/8 0 X4 1 0 0 1 0 0 0 X5 0 1 0 -5/8 1/8 -3/8 R. H. S. 25 24 0 10 3 9 Ratio 5 3 C(j)-Z(j) 0 -1/8 最优解：X=（3，0，0，10，0）；最优值Z＝9
1.11 分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划：
3/4 -1/4 maxZ?10x1?5x2?x3 (1) ??5x1?3x2?x3?10??5x1?x2?10x3?15?x?0,j?1,2,3?j
【解】大M法。数学模型为
maxZ?10x1?5x2?x3?Mx5?5x1?3x2?x3?x5?10???5x1?x2?10x3?x4?15?x?0,j?1,2,,5?jC(j) Basis X5 X4 C(j)-Z(j) * Big M X1 X4 C(j)-Z(j) * Big M 10 0 C(i) -M 0 10 5 -5 10 5 1 0 0 0
-5 3 1 -5 3 4 -11 0 1 X3 1 -10 1 1 -9 -1 0 0 X4 0 1 0 0 0 1 0 0 -M X5 1 0 0 0 X1 X2 R. H. S. Ratio 10 15 0 0 2 25 20 0 2 M 3/5 1/5 1/5 1 -2 -1 运筹学(第3版) 习题答案 18
最优解X＝(2,0,0)；Z=20 两阶段法。
第一阶段：数学模型为
minw?x5?5x1?3x2?x3?x5?10 ??5x?x?10x?x?15?1234?x?0,j?1,2,,5?jC(j) Basis X5 X4 C(j)-Z(j) X1 X4 C(j)-Z(j) 第二阶段 C(j) Basis X1 X4 C(j)-Z(j) 最优解X=(2,0,0)；Z=20
C(i) 10 0 0 0 C(i) 1 0 0 X1 [5] -5 -5 1 0 0 10 X1 1 0 0 0 X2 3 1 -3 4 0 -5 X2 4 0 X3 1 -10 -1 -9 0 1 X3 -9 0 X4 0 1 0 0 1 0 0 X4 0 1 0 1 X5 1 0 0 R. H. S. 10 15 2 25 R. H. S. 2 25 Ratio 2 M Ratio 2 M 3/5 1/5 1/5 1 1 3/5 1/5 -11 -1 minZ?5x1?6x2?7x3?x1?5x2?3x3?15?(2) ?5x1?6x2?10x3?20
??x1?x2?x3?5?xj?0,j?1,2,3?【解】大M法。数学模型为
minZ?5x1?6x2?7x3?MA1?MA3?x1?5x2?3x3?S1?A1?15?5x?6x?10x?S?20?1232??x1?x2?x3?A3?5??所有变量非负C(j) 5 -6 Basis C(i) X1 X2 A1 M 1 [5] S2 0 5 -6 A3 M 1 1 C(j)-Z(j) 5 -6
-7 X3 -3 10 1 -7 0 S1 -1 0 0 0 0 S2 0 1 0 0 M A1 1 0 0 0 M A3 0 0 1 0 R.H.S. Ratio 15 20 5 3 M 5 运筹学(第3版) 习题答案 19
* Big M X2 S2 A3 C(j)-Z(j) * Big M X2 S2 X3 -6 0 -7 -6 0 M -2 1/5 31/5 4/5 31/5 -4/5 1/2 3 1/2 -6 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 -3/5 32/5 [8/5] -53/5 -8/5 0 0 1 0 0 1 -1/5 -6/5 1/5 -6/5 -1/5 -1/8 -2 1/8 1/8 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1/5 6/5 -1/5 6/5 6/5 1/8 2 -1/8 -1/8 1 0 0 0 1 0 0 3/8 -4 5/8 53/8 1 30 5/4 38 2 3 M 95/16 5/4 15/4 C(j)-Z(j) 23/2 0 * Big M 0 两阶段法。 第一阶段：数学模型为
minw?A1?A3?x1?5x2?3x3?S1?A1?15?5x?6x?10x?S?20 ?1232??x1?x2?x3?A3?5??所有变量非负C(j) 0 0 0 Basis C(i) X1 X2 X3 A1 1 1 -3 [5] S2 0 5 -6 10 A3 1 1 1 1 C(j)-Z(j) -2 -6 2 X2 0 1/5 1 -3/5 S2 0 31/5 0 32/5 A3 1 4/5 0 [8/5] C(j)-Z(j) -4/5 0 -8/5 X2 0 1/2 1 0 S2 0 3 0 0 X3 0 1/2 0 1 C(j)-Z(j) 0 0 0 第二阶段： C(j) Basis X2 S2 X3 C(j)-Z(j) 最优解：X?(0,C(i) -6 0 -7 5 X1 1/2 3 1/2 -6 X2 1 0 0 -7 X3 0 0 1 0 0 S1 -1/8 -2 1/8 1/8 0 S2 0 1 0 0 R.H.S. Ratio 15/4 3 30 5/4 M 5 0 S1 -1 0 0 1 -1/5 -6/5 1/5 -1/5 -1/8 -2 1/8 0 0 S2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 A1 1 0 0 0 1/5 6/5 -1/5 6/5 1/8 2 -1/8 1 1 A3 0 0 1 0 0 0 1 0 3/8 -4 5/8 1 R.H.S. Ratio 15 20 5 3 M 5 M 95/16 5/4 3 38 2 30 5/4 15/4 23/2 0 155T125,),Z?? 444运筹学(第3版) 习题答案 20
maxZ?10x1?15x2?5x1?3x2?9?(3)??5x1?6x2?15??2x1?x2?5??x1、x2、x3?0
【解】大M法。数学模型为
maxZ?10x1?15x2?Mx6?5x1?3x2?x3?9??5x?6x?x?15?124??2x1?x2?x5?x6?5?xj?0,j?1,2,,6?15 0 0 0 X2 X3 X4 X5 3 1 0 0 6 0 1 0 1 0 0 -1 15 0 0 0 1 0 0 -1 3/5 0 0 1/5 9 1 1 0 -1/5 -2/5 0 -1 9 -2 0 0 -1/5 -2/5 0 -1
C(j) Basis C(i) X3 X4 X6 0 0 -M 10 X1 [5] -5 2 10 2 1 0 0 0 -M X6 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 R. H. S. Ratio 9 15 5 0 0 9/5 24 7/5 18 0 1.8 M 2.5 C(j)-Z(j) * Big M X1 X4 X6 10 0 -M C(j)-Z(j) * Big M 0 因为X6>0,原问题无可行解。 两阶段法
第一阶段：数学模型为
minZ?x6?5x1?3x2?x3?9??5x?6x?x?15 ?124??2x1?x2?x5?x6?5?xj?0,j?1,2,,6?0 0 0 0 X2 X3 X4 X5 3 1 0 0 6 0 1 0 1 0 0 -1 -1 0 0 1 3/5 0 0 1/5 9 1 1 0 C(j) Basis C(i) X3 X4 X6 X1 X4 0 0 1 0 0 0 X1 [5] -5 2 -2 1 0 1 X6 0 0 1 0 0 0 R. H. S. Ratio 9 15 5 5 9/5 24 1.8 M 2.5 14 C(j)-Z(j) 运筹学(第3版) 习题答案 21
X6 1 0 -1/5 -2/5 0 0 -1 1 1 0 7/5 C(j)-Z(j) 0 1/5 2/5 因为X6>0,原问题无可行解。图解法如下：
maxZ?4x1?2x2?5x3?6x1?x2?4x3?10? (4) ?3x1?3x2?5x3?8??x1?2x2?x3?20?xj?0,j?1,2,3?
【解】大M法。X7是人工变量，数学模型为
maxZ?4x1?2x2?5x3?Mx7?6x1?x2?4x3?x4?10?3x?3x?5x?x?8 ?1235??x1?2x2?2x3?x6?x7?20?xj?0,j?1,2,,7?Cj CB 0 0 －M XB X4 X5 X7 4 X1 2 X2 5 X3 0 X4 0 X5 0 X6 －M R.H.S. X7 Ratio 10 6 3 1 4 M -1 -3 [2] 2 2M 4 -5 1 5 M 1 C(j)-Z(j) * Big M 1 －1 1 －1 10 8 20 运筹学(第3版) 习题答案
X4 13/2 X5 X2 22
0 0 2 9/2 1/2 3 C(j)-Z(j) * Big M 5 0 2 X3 13/9 X5 86/9 X2 -2/9 -25/9 C(j)-Z(j) * Big M 1 1 [9/2] -7/2 1/2 4 1 1 2/9 7/9 -1/9 -8/9 1 1 -1/2 -3/2 -1/2 1 1/2 3/2 1/2 -1 -1 1/9 4/9 -1 20 38 10 -1/9 -4/9 40/9 70/9 -17/9 17/9 482/9 13/9 -13/9 无界解。 两阶段法。第一阶段：
minZ?x7?6x1?x2?4x3?x4?10?3x?3x?5x?x?8 ?1235??x1?2x2?x3?x6?x7?20?xj?0,j?1,2,,7?Cj CB 0 0 1 XB X4 X5 X7 X1 X2 X3 0 X4 0 X5 0 X6 1 X7 R.H.S. Ratio 10 6 3 1 －1 13/2 9/2 1/2 -1 -3 [2] 4 -5 1 [9/2] -7/2 1/2 1 C(j)-Z(j) 0 0 2 X4 X5 X2 －2 －1 C(j)-Z(j) 1 1 1 1 －1 1 -1/2 -3/2 -1/2 1 1/2 3/2 1/2 1 10 8 20 20 38 10 第二阶段： Cj CB 0 0 1 XB X4 X5 X2 4 X1 2 X2 5 X3 0 X4 0 X5 0 X6 R.H.S. Ratio 13/2 9/2 1/2 C(j)-Z(j) 0 0 2 X3 X5 X2 C(j)-Z(j) 7/2 13/9 86/9 -2/9 -3 1 1 [9/2] -7/2 1/2 1 9/2 1 2/9 7/9 -1/9 -1 1 1 -1/2 -3/2 -1/2 20 38 10 1/2 -1/9 40/9 -17/9 482/9 -4/9 70/9 1 原问题无界解。
运筹学(第3版) 习题答案 23
?21?1.12 在第1.9题中，对于基B???,求所有变量的检验数?j(j?1,?,4),并判断B是不
40??是最优基．
1??0?4??1【解】B??4,B???,
1?1????2????C?CBB?1A1??0???2210?4?(5,2,0,0)?(5,0)????
14?201??1?????2??5595?(5,2,0,0)?(5,?,0,)?(0,,0,?)2424??(0,,0,?), B不是最优基，可以证明B是可行基。
1.13已知线性规划
9254maxz?5x1?8x2?7x3?4x4?2x1?3x2?3x3?2x4?20 ?3x?5x?4x?2x?30?1234?x?0,j?1,,4?j?23?的最优基为B???，试用矩阵公式求（1）最优解；(2)单纯形乘子；
25??(3)N1及N3；(4)?1和?3。
【解】
?5?4B?1????1??23???4?,CB?(c4,c2)?(4,8,),则 1?2??T?1(1)XB?(x4,x2)?Bb?(,5),最优解X?(0,5,0,),Z?50 (2)??CBB(3)
?152T52T?(1,1)
运筹学(第3版) 习题答案 24
3??5?1???44??2??4??1N1?BP??????1??11????3??1????22???2??
3??5?3???4??3??4?4?1N3?BP3??????????11??4??1????22???2??(4)
?1??4??1?c1?CBN1?5?(4,8)???5?5?0?1???2??
?3??4??3?c3?CBN3?7?(4,8)???7?7?0?1???2??注：该题有多重解：
X(1)=(0，5，0，5/2)
X(2)=(0，10/3，10/3，0)
X(3)=(10，0，0，0)，x2是基变量，X(3)是退化基本可行解 Z＝50
1.14 已知某线性规划的单纯形表1－28, 求价值系数向量C及目标函数值Z．
表1－28 Cj CB 3 4 0 λj 【解】由?j?cj?ic1 XB x4 x1 x6 x1 0 1 0 0 c2 x2 1 0 －1 －1 c3 x3 2 －1 4 －1 c4 x4 1 0 0 0 iijc5 x5 －3 2 －4 1 c6 x6 0 0 1 0 c7 x7 2 －1 2 －2 b 4 0 3/2 ?caiij有cj??j??cai
c2＝－1＋（3×1＋4×0＋0×（－1））＝2 c3＝－1＋（3×2＋4×（－1）＋0×4）＝1 c5＝1＋（3×（－3）＋4×2＋0×（－4））＝0 c7＝-2＋（3×2＋4×(－1)＋0×2）＝0 则C＝(4,2,1,3,0,0,0,)，Z=CBXB=12
1.15 已知线性规划
maxZ?c1x1?c2x2?c3x3
运筹学(第3版) 习题答案 25
?a11x1?a12x2?a13x3?b1??a21x1?a22x2?a23x3?b2 ?x,x,x?0?123的最优单纯形表如表1－29所示，求原线性规划矩阵C、A、及b，最优基B及B．
Cj CB c1 c2 λj XB x1 x2 c1 x1 1 0 0 c2 x2 0 1 0 表1－29 c3 x3 4 －3 －1 c4 x4 1/6 0 －2 c5 x5 1/15 1/5 －3 b 6 2 ?1?11??615??6?2??1?1?1，得到B?(B)?,c4＝c5＝0， 【解】由B??????05??01??5???由公式?j?cj??ciaij得
i?16?c4??2?(c1,c2)????2?c1/6?0?c1?12
?0??115?c5??3?(12,c2)??0?c2?11 ??15??4?c3???1?(12,11)???14
??3??1由 A?BA
4??6?2??10?得 A?BA??????01??305??????1由 b?Bb
32??6?2??6??得 b?Bb?? ??????10??05??2??6?2?30
05??1?51.16思考与简答
（1）在例1.2中，如果设xj(j=1，2，…，7)为工作了5天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如何变化。
（2）在例1.3中，能否将约束条件改为等式；如果要求余料最少，数学模型如何变化；简述板材下料的思路。
（3）在例1.4中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1％，模型如何变化。
（4）在例1.6中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间1小时，模型如何变化。
(5)在单纯形法中，为什么说当?k?0并且aik?0(i?1,2,,m)时线性规划具有无界解。 (6)选择出基变量为什么要遵循最小比值规则，如果不遵循最小比值规则会是什么结果。 （7）简述大M法计算的基本思路，说明在什么情形下线性规划无可行解。 （8）设X(1)、X(2)、X(3)是线性规划的3个最优解，试说明
X??1X(1)??2X(2)??3X(3)(其中?1,?2,?3?0并且?1??2??3?1)
也是线性规划的最优解。
运筹学(第3版) 习题答案 26
（9）什么是基本解、可行解、基本可行解、基本最优解，这四个解之间有何关系。 （10）简述线性规划问题检验数的定义及其经济含义。
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运筹学(第3版) 习题答案 27
第2章 线性规划的对偶理论
2.1某人根据医嘱，每天需补充A、B、C三种营养，A不少于80单位，B不少于150单位，C不少于180单位．此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分．已知六种食物每百克的营养成分含量及食物价格如表2-22所示．（1）试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的数学模型；（2）假定有一个厂商计划生产一中药丸，售给此人服用，药丸中包含有A，B，C三种营养成分．试为厂商制定一个药丸的合理价格，既使此人愿意购买，又使厂商能获得最大利益，建立数学模型．
含量 食物 营养成分 A B C 食物单价（元/100g） 一 13 24 18 0.5 二 25 9 7 0.4 表2-22 三 14 30 21 0.8 四 40 25 34 0.9 五 8 12 10 0.3 六 11 15 0 0.2 需要量 ≥80 ≥150 ≥180 【解】（1）设xj为每天第j种食物的用量，数学模型为
minZ?0.5x1?0.4x2?0.8x3?0.9x4?0.3x5?0.2x6?13x1?25x2?14x3?40x4?8x5?11x6?80?24x?9x?30x?25x?12x?15x?150?123456??18x1?7x2?21x3?34x4?10x5?180??x1、x2、x3、x4、x5、x6?0（2）设yi为第i种单位营养的价格，则数学模型为
maxw?80y1?150y2?180y3?13y1?24y2?18y3?0.5?25y?9y?7y?0.4123??14y1?30y2?21y3?0.8??40y1?25y2?34y3?0.9?8y?12y?10y?0.323?1?11y1?15y2??0.2??y1,y2,y3?0
2.2写出下列线性规划的对偶问题
?y1?2y2?1?x1?3x2?5x3?10?（1）? 【解】?3y1?y2?3?2x1?x2?x3?4??x,x,x?0?5y1?y2?2?123??y1,y2?0min?x1?3x2?2x3maxw?10y1?4y2
运筹学(第3版) 习题答案 28
?y1?y2?2?x1?2x2?4x3?15?（2）? 【解】?2y1?3y2?1 ??x1?3x2?x3?10??x,x?0,x无约束??4y1?y2?13?12??y1无约束；y2?0maxZ?2x1?x2?x3minw?15y1?10y2?10y1?7y2?4y3?210x?x?x?4x?14?1234?y?6y?8y?1123?（3）?7x1?6x2?2x3?5x4?20 【解】? ??y?2y?6y??4??1234x?8x?6x?x＝91234???4y?5y?y?3123??x,x?0,x无约束，x?034?12??y1?0,y2?0,y3无约束maxZ?2x1?x2?6x3?7x4maxZ?2x1?x2－4x3?3x4minw?14y1?20y2?9y3maxZ?2x1?x2?6x3?7x4?3x1?2x2?x3?6x4?12?3x1?2x2?x3?6x4?12?6x?5x?x?634?6x?5x?x?6?1134（4）? 【解】????x1?2x2?x3?2x4??2
?x?2x?x?2x??2?1?234?8?x?20?x1?81??x1?20???x1?0，x2,x3,x4无约束??x1?0，x2,x3,x4无约束minw?12y1?6y2?2y3+8y4?20y5?3y1?6y2?y3?y4?y5?2??2y?2y?113对偶问题为： ? ?y?5y?y??6?123??6y?y?2y?7123???y1?0,y2?0，y3,?0，y4?0，y5?02.3考虑线性规划
minZ?12x1?20x2?x1?4x2?4?x?5x?2?12??2x1?3x2?7??x1,x2?0
(1)说明原问题与对偶问题都有最优解；
(2)通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解；
－
(3)利用公式CBB1求原问题的最优解； (4)利用互补松弛条件求原问题的最优解． 【解】(1)原问题的对偶问题为
运筹学(第3版) 习题答案 29
maxw?4y1?2y2?7y3?y1?y2?2y3?12??4y1?5y2?3y3?20?y?0,j?1,2,3?j
容易看出原问题和对偶问题都有可行解，如X＝(2，1)、Y＝(1，0，1)，由定理2.4知都有最优解。
(2)对偶问题最优单纯形表为 C(j) Basis y3 y1 C(j)-Z(j) C(i) 7 4 4 y1 0 1 2 y2 -1/5 7/5 7 y3 1 0 0 y4 4/5 -3/5 0 y5 -1/5 R. H. S. 28/5 2/5 0 -11/5 0 -16/5 -1/5 4/5 w=42.4 对偶问题的最优解Y＝(4/5,0,28/5)，由定理2.6，原问题的最优解为X=(16/5，1/5)，Z＝42.4
1?1??4?4???5?55?5??1（3）CB=(7,4),B???, X?(7,4)???(16/5,1/5)
??32???32????55???55??(4)由y1、y3不等于零知原问题第一、三个约束是紧的，解等式
?x1?4x2?4 ?2x?3x?7?12得到原问题的最优解为X=(16/5，1/5)。
2.4证明下列线性规划问题无最优解
minZ?x1?2x2?2x3?2x1?x2?2x3?3 ?x?2x?3x?2?123?x,x?0,x无约束3?12证明：首先看到该问题存在可行解，例如x=(2,1,1)，而上述问题的对偶问题为
maxw?3y1?2y2?2y1?y2?1?y?2y??2 ?12???2y1?3y2??2??y2?0,y1无约束由约束条件①②知y1≤0，由约束条件③当y2≥0知y1≥1，对偶问题无可行解，因此原问题
也无最优解(无界解)。
2.5已知线性规划
运筹学(第3版) 习题答案 30
maxZ?15x1?20x2?5x3?x1?5x2?x3?5?5x?6x?x?6 ?123??3x1?10x2?x3?7??x1?0,x2?0,x3无约束的最优解X?(,0,1419T)，求对偶问题的最优解． 4【解】其对偶问题是：
minw?5y1?6y2?7y3?y1?5y2?3y3?15?5y?6y?10y?20 ?123??y1?y2?y3?5??y1,y2,y3?0由原问题的最优解知，原问题约束③的松弛变量不等于零(xs3?0)，x1、x3不等于零，则对偶问题的约束①、约束③为等式，又由于xs3?0知y3＝0；解方程
?y1?5y2?15 ?y?y?5?12得到对偶问题的最优解Y=(5/2,5/2,0)；w＝55/2＝27.5
2.6用对偶单纯形法求解下列线性规划
（）1minZ?3x1?4x2?6x3?x1?2x2?3x3?10??2x1?2x2?x3?12?x,x,x?0?123
【解】将模型化为
minZ?3x1?4x2?6x3??x1?2x2?3x3?x4??10 ???2x1?2x2?x3?x5??12?x?0,j?1,2,3,4,5?j对偶单纯形表：
cj CB 0 0 XB X4 X5 C(j)-Z(j) 3 X1 －1 [－2] 3 4 X2 －2 －2 4 6 X3 －3 －1 6 0 X4 1 0 0 0 X5 0 1 0 b －10 －12 0 运筹学(第3版) 习题答案 31
0 3 X4 X1 C(j)-Z(j) 0 1 0 0 1 0 [－1] 1 1 1 0 0 －5/2 1/2 9/2 5/2 －2 2 1 0 0 －1 1 1 －1/2 －1/2 3/2 1/2 －1 1 －4 6 －18 4 2 －22 5 3 X2 X1 C(j)-Z(j) b列全为非负，最优解为x＝(2，4，0)；Z＝22
（2）
minZ?5x1?4x2?x1?x2?6??2x1?x2?2?x?0,x?02?1
【解】将模型化为
minZ?5x1?4x2??x1?x2?x3??6 ?2x?x?x?2?124?x?0,j?1,2,3,4?j XB X3 X4 Cj－Zj X1 X4 Cj－Zj X1 X2 Cj－Zj 3 4 3 0 CB 0 0 5 X1 [-1] 2 3 1 0 0 1 0 0 4 X2 -1 1 4 1 [-1] 1 0 1 0 0 X3 1 0 0 -1 2 3 1 -2 5 0 X4 0 1 0 0 1 0 1 -1 1 b -6 2 6 -10 -4 10 出基行系数全部非负，最小比值失效，原问题无可行解。
(3)minZ?2x1?4x2?2x1?3x2?24?x?2x?10?12??x1?3x2?18??x1,x2?0
【解】将模型化为
运筹学(第3版) 习题答案 32
minZ?2x1?4x2?2x1?3x2?x3?24??x?2x?x??10 ?124???x1?3x2?x5??18?xj?0,j?1,2,3,4,5? cj XB X3 X4 X5 Cj－Zj X3 X4 X2 Cj－Zj 0 0 4 CB 0 0 0 2 X1 2 -1 -1 2 1 -1/3 1/3 2/3 4 X2 3 -2 [-3] 4 0 0 1 0 0 X3 1 0 0 0 1 0 0 0 0 X4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 X5 0 0 1 0 1 －2/3 －1/3 4/3 b 24 -10 -18 6 2 6 最优解X=(0，6)；Z＝24
（4）minZ?2x1?3x2?5x3?6x4?x1?2x2?3x3?x4?2???2x1?x2?x3?3x4??3?x?0,j?1,,4?j
【解】将模型化为
minZ?2x1?3x2?5x3?6x4??x1?2x2?3x3?x4?x5??2 ??2x?x?x?3x?x??3?12346?x?0,j?1,,6?jCj XB X5 X6 Cj－Zj X2 X6 Cj－Zj X2 X3 Cj－Zj X1 X3 2 5 3 5 3 0 CB 0 0 2 X1 -1 -2 2 1/2 -5/2 1/2 [-1] 1 0 1 0 3 X2 [-2] 1 3 1 0 0 1 0 0 -1 [1] 5 X3 -3 -1 5 3/2 [-5/2] 1/2 0 1 0 0 1 6 X4 -4 3 6 2 1 0 13/5 -2/5 1/5 -13/5 11/5 0 X5 1 0 0 -1/2 1/2 3/2 -1/5 -1/5 8/5 1/5 -2/5 0 X6 b -2 -3 1 -4 -7/5 8/5 0 1 0 0 1 0 3/5 -2/5 1/5 -3/5 1/5 7/5 1/5 运筹学(第3版) 习题答案 33
Cj－Zj X1 X2 Cj－Zj 2 3 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1/5 -2/5 11/5 1/5 8/5 -1/5 -2/5 8/5 1/5 -2/5 1/5 1/5 8/5 1/5 原问题有多重解：X(1)＝(7/5，0，1/5，)；最优解X(2)＝(8/5，1/5，0)；Z＝19/5 如果第一张表X6出基，则有
Cj XB X5 X6 Cj－Zj X5 X1 Cj－Zj X2 X1 Cj－Zj 3 2 0 2 CB 0 0 2 X1 -1 [-2] 2 0 1 0 0 1 0 3 X2 -2 1 3 [-5/2] -1/2 4 1 0 0 5 X3 -3 -1 5 -5/2 1/2 4 1 1 0 6 X4 -4 3 6 -11/2 -3/2 9 11/5 -7/5 1/5 0 X5 1 0 0 1 0 0 -2/5 -1/5 8/5 0 X6 b -2 -3 -1/2 3/2 1/5 8/5 0 1 0 -1/2 -1/2 1 1/5 -2/5 1/5
2．7某工厂利用原材料甲、乙、丙生产产品A、B、C，有关资料见表2-23．
表2-23
材 产品 产材料消耗料 品消原材料 耗材料甲 乙 丙 每件产品利润 A 2 1 2 4 B 1 2 2 1 C 1 3 1 3 每月可供原材料（Kg） 200 500 600 （1）怎样安排生产，使利润最大．
（2）若增加1kg原材料甲，总利润增加多少．
（3）设原材料乙的市场价格为1.2元/Kg，若要转卖原材料乙，工厂应至少叫价多少，为什么？
（4）单位产品利润分别在什么范围内变化时，原生产计划不变．
（5）原材料分别单独在什么范围内波动时，仍只生产A和C两种产品．
（6）由于市场的变化，产品B、C的单件利润变为3元和2元，这时应如何调整生产计划． （7）工厂计划生产新产品D，每件产品D消耗原材料甲、乙、丙分别为2kg，2kg及1kg，每件产品D应获利多少时才有利于投产． 【解】（1）设 x1、x2、x3分别为产品A、B、C的月生产量，数学模型为
maxZ?4x1?x2?3x3?2x1?1x2?x3?200?x?2x?3x?500 ?123??2x1?x2?x3?600??x1?0,x2?0,x3?0最优单纯形表：
运筹学(第3版) 习题答案 34
C(j) X1 X3 X6 4 3 0 4 1 0 0 0 1 X2 1/5 3/5 0 -8/5 3 X3 0 1 0 0 0 X4 3/5 -1/5 -1 -9/5 0 X5 -1/5 2/5 0 -2/5 0 X6 0 0 1 0 XB CB X1 R.H.S. 20 160 400 Z=560 Ratio 最优解X=（20，0，160），Z=560。工厂应生产产品A20件，产品C160种，总利润为560元。
（2）由最优表可知，影子价格为y1?C(j)-Z(j) 92,y2?,y3?0,故增加利润1.8元。 55（3）因为y2=0.4，所以叫价应不少于1.6元。
（4）依据最优表计算得
8?3??c1?2,?c2?,?1??c3?95
13c1?[1,6],c2?(??,],c3?[2,12]5（5）依据最优表计算得
100??b1?400,?400??b2?100,?400??b33 500b1?[,600],b2?[100,600],b3?[200,??).3?（6）变化后的检验数为λ2=1,λ4=-2,λ5=0。故x2进基x1出基,得到最最优解X=(0,200,0)，即只生产产品B 200件,总利润为600元。 C(j) XB X1 X3 X6 X2 X3 X6 X2 X4 X6
(7)设产品D的产量为x7, 单件产品利润为c7，只有当?7?c7?CBB?1P7?0时才有利于投产。
CB 4 2 0 2 3 0 2 0 0 4 X1 1 0 0 0 5 -3 0 -5 2 -3 0 -2 3 X2 [1/5] 3/5 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 2 X3 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 -1 0 X4 3/5 -1/5 -1 -2 3 -2 -1 -5 1 -2 -1 -3 0 X5 -1/5 2/5 0 0 -1 [1] 0 1 0 1 0 0 0 X6 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 R.H.S. 20 160 400 560 100 100 400 200 100 400 Ratio 100 800/3 M M 100 M C(j)-Z(j) C(j)-Z(j) C(j)-Z(j) 运筹学(第3版) 习题答案 35
?2?92????22c7?CBB?1P7?YP7??,,0??2??
?55???5?1?则当单位产品D的利润超过4.4元时才有利于投产。
2．8对下列线性规划作参数分析
maxZ?(3?2?)x1?(5??)x2?x1?4?（1）?x2?6??3x1?2x2?18??x1,x2?0
【解】μ＝0时最优解X=(4,3,0)；最优表： C(j) 3 5 0 Basis X1 X2 X5 C(i) 3 5 0 X1 1 0 0 0 3＋2μ X1 1 0 0 X2 0 1 0 0 5－μ X2 0 1 0 X3 1 0 -3 -3 0 X4 0 0.5 -1 -2.5 0 X3 1 0 -3 0 X5 0 0 1 0 0 X4 0 0.5 -1 R. H. S. 4 3 0 27 0 X5 0 0 1 R.H.S. 4 3 0 C(j)-Z(j) 将参数引入到上表： C(j) Basis X1 X2 X5 C(i) 3＋2μ 5－μ 0 C(j)-Z(j) 0 0 0 27 －3－2μ -2.5＋0.5μ 当－3－2μ≤0及-2.5＋0.5μ≤0时最优基不变，有－1.5≤μ≤5。当μ<－1.5时X3进基X1出基；μ>5时X4进基X2出基，用单纯形法计算。参数变化与目标值变化的关系如下表所示。 From To From To Leaving Entering Range 1 2 3 (Vector) 0 5 0 (Vector) OBJ Value OBJ Value 5 M -1.5 27 52 27 19.5 52 M 19.5 M Slope 5 8 5 -3 Variable Variable X2 X1 X4 X3 4 -1.5 -M 目标值变化如下图所示。
运筹学(第3版) 习题答案 36
(μ＝5,Z=52)
(μ＝0,Z=27)
(μ＝-1.5,Z=19.5)
0
maxZ?3x1?5x2?x1?4???（2）?x2?6 ??3x1?2x2?18?2???x1,x2?0【解】μ＝0时最优解X=(4,3,0)，Z＝27；最优表： C(j) 3 5 0 0 Basis X1 X2 X5 C(j)-Z(j) C(i) 3 5 0 X1 1 0 0 0 X2 0 1 0 0 X3 1 0 -3 -3 X4 0 0.5 -1 -2.5 0 X5 0 0 1 0 R. H. S. 4 3 0 27 ?4??1????0??
b?b??b????6??????18?????2??b?B?1(b??b???)?B?1b??B?1b???00??1??4??1???00.50??0????3????????0?????3?11?????2???4??1????0????3??????0?????5??
运筹学(第3版) 习题答案 37
替换最优表的右端常数，得到下表。 C(j) 3 5 Basis X1 X2 X5 C(i) 3 5 0 X1 1 0 0 X2 0 1 0 0 X3 1 0 [-3] 0 X4 0 0.5 -1 0 X5 0 0 1 R.H.S. 4＋μ 3 －5μ C(j)-Z(j) 0 0 -3 -2.5 0 ①μ<－4时问题不可行，－4≤μ<0时最优基不变。μ＝－4时Z＝15。 ②μ>0时X5出基X3进基得到下表： C(j) 3 5 0 0 0 Basis X1 X2 X3 C(i) 3 5 0 X1 1 0 0 X2 0 1 0 X3 0 0 1 0 X4 -1/3 1/2 1/3 -3/2 X5 1/3 0 -1/3 -1 R.H.S. 4-2/3μ 3 5μ/3 C(j)-Z(j) 0 0 0≤μ≤6时为最优解。μ＝6时Z＝15。 ③μ>6时X1出基X4进基得到下表： C(j) 3 5 Basis X4 X2 X3 C(i) 0 5 0 X1 -3 3/2 1 X2 0 1 0 0 X3 0 0 1 0 X4 1 0 0 0 X5 -1 1/2 0 R.H.S. -12+2μ 9-μ 4+μ C(j)-Z(j) μ＝9时最优解X=(0，0，13，6，0)，Z=0；μ>9时无可行解。 综合分析如下表所示。 From To From To Leaving Range (Vector) (Vector) OBJ Value OBJ Value Slope Variable 1 0 0 27 27 3 X5 2 0 6 27 15 -2 X1 3 6 9 15 0 -5 X2 4 9 Infinity Infeasible 5 0 -4 27 15 3 X1 6 -4 -Infinity Infeasible 目标值变化如下图所示。 Entering Variable X3 X2 运筹学(第3版) 习题答案 38
2.9 有三个决策单元的输入输出矩阵
?9510??628???X＝?364?，Y＝?? 535????439??（1）建立C2R模型并求解，判断各决策单元的DEA有效性。
(2) 建立BC2模型并求解，判断各决策单元的DEA有效性。
（3）指出哪些决策单元是技术有效又规模有效、是技术有效非规模有效、既不是技术有效又非规模有效。
(4) 分别求三个决策单元的整体效率、技术效率、规模效率及规模报酬 【解】（1）m?3,n?3,s?2；ω?(?1,?2,?3)T,μ?(?1,?2)T
对第一决策单元有
X1?(9，3，4)T,Y1?(6,5)T
maxZ1P?6?1?5?2??9?1?3?2?4?3?6?1?5?2?0??5??6??3??2??3??012312? ???10?1?4?2?9?3?8?1?5?2?0?9??3??4??123?1???1,?2,?3,?1,?2?0TT最优解ω?(0.0894,0,0.0488),μ?(0.1667,0)，Z1P=1 对偶问题的最优解：(?1，?2，?3，?)?(1,0,0,1)，Z1D=1。
DEA有效
运筹学(第3版) 习题答案 39
对第二决策单元有
maxZ2P?2?1?3?2??9?1?3?2?4?3?6?1?5?2?0??5??6??3??2??3??012312? ???10?1?4?2?9?3?8?1?5?2?0?5??6??3??123?1???1,?2,?3,?1,?2?0最优解ω?(0.0820,0,0.1475)T,μ?(0,0.2656)T，Z2P=0.7967
对偶问题的最优解：(?1，?2，?3，?)?(0.4426,0,0.1574,0.7967)，Z2D=0.7967
非DEA有效
对第三决策单元有
maxZ3P?8?1?5?2??9?1?3?2?4?3?6?1?5?2?0??5??6??3??2??3??012312? ???10?1?4?2?9?3?4?1?9?2?0?10??4??9??1123????1,?2,?3,?1,?2?0最优解ω?(0.0253,0,0.0829)T,μ?(0.0933,0)T，Z3P=0.7465
对偶问题的最优解：(?1，?2，?3,?)?(0.8295,0,0.3779,0.7465)，Z3D=0.7465。
非DEA有效
（2）第一决策单元BC2模型
maxWkP?μTYk?ck?9510??ωTXj?μTYj?ck?0,j?1,2,n?364?，Y＝?628?
?X＝?T?535???ωX?1???k??439???ω?0,μ?0??maxW1P?6?1?5?2?c1??9?1?3?2?4?3?6?1?5?2?c1?0??5??6??3??2??3??c?0123121? ???10?1?4?2?9?3?8?1?5?2?c1?0?9??3??4??123?1???1,?2,?3,?1,?2?0最优解ω?(0.0894,0,0.0488)T,μ?(0.1667,0)Tc1?0，W1P=1
对偶问题的最优解：(?1，?2，?3，?)?(1,0,0,1)，W1D=1。 技术有效
第二决策单元BC2模型
运筹学(第3版) 习题答案 40
maxW2P?2?1?3?2?c2??9?1?3?2?4?3?6?1?5?2?c2?0???5?1?6?2?3?3?2?1?3?2?c2?0 ???10?1?4?2?9?3?8?1?5?2?c2?0?5??6??3??123?1???1,?2,?3,?1,?2?0,c1无限制最优解ω?(0.0962,0,0.1731)T,μ?(0，0.3115)Tc2?0，W2P=0.9346
对偶问题的最优解：(?1，?2，?3,?)?(0.5192,0,0.0808,0.9346)，W2D=0.9346 非技术有效
第三决策单元BC2模型
maxW3P?8?1?5?2?c3??9?1?3?2?4?3?6?1?5?2?c3?0???5?1?6?2?3?3?2?1?3?2?c3?0 ???10?1?4?2?9?3?8?1?5?2?c3?0?10??4??9??1123????1,?2,?3,?1,?2?0,c3无限制最优解ω?(0,0,0.1111)T,μ?(0.2778，0)Tc3?1.2222，W3P=1
对偶问题的最优解：(?1，?2，?3,?)?(0,0,1,1)，W3D=1 技术有效
（3）第一决策单元DEA有效，从而既技术有效又规模有效；
第二决策单元非DEA有效，由BC2模型知既不是技术有效又非规模有效； 第三决策单元非DEA有效，由BC2模型知是技术有效非规模有效； （4）由定义及式（2－12）、（2－13）得到下表结果。
Wkp ck 决策单元k Zkp 整体效率 技术效率 规模效率 规模报酬
DMU1 1 1 0 1 1 1 1 DMU2 0.7967 0.9346 0 0.7967 0.9346 0.8524 1 DMU3 0.7465 1 1.2222 0.7465 1 0.7465 0.45
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运筹学(第3版) 习题答案 41
第3章 整数规划
3.1某公司今后三年内有五项工程可以考虑投资。每项工程的期望收入和年度费用(万元)如表3-8所示。
表3-8
工 程 1 2 3 4 5 资金拥有量 费 用 第一年 第二年 第三年 5 1 8 4 7 2 5 9 6 7 5 2 8 6 9 30 25 30 收 入 30 40 20 15 30 每项工程都需要三年完成，应选择哪些项目使总收入最大，建立该问题的数学模型。 【解】设xj???1投资j项目?0不投资j项目maxZ?30x1?40x2?20x3?15x4?30x5?5x1?4x2?5x3?7x4?8x5?30?x?7x?9x?5x?6x?252345?1??8x1?2x2?6x3?2x4?9x5?30?xj＝0或1,j?1,,5?
，模型为
最优解X＝(1,1,1,0,1)，Z=120万元，即选择项目1、2、3、5时总收入最大。
3.2选址问题。以汉江、长江为界将武汉市划分为汉口、汉阳和武昌三镇。某商业银行计划投资9000万元在武汉市备选的12个点考虑设立支行，如图3-8所示。每个点的投资额与一年的收益见表3－9。计划汉口投资2～3个支行，汉阳投资1～2个支行，武昌投资3～4个支行。
如何投资使总收益最大，建立该问题的数学模型，说明是什么模型，可以用什么方法求解。 图3-8
表3-9
地址i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 投资额(万元) 900 1200 1000 750 680 800 720 1150 1200 1250 850 1000 收益（万元） 400 500 450 350 300 400 320 460 500 510 380 400 【解】设xj为投资第j个点的状态，xj=1或0，j=1,2,…,12 运筹学(第3版) 习题答案 42
maxZ?400x1?500x2?450x3??400x12?900x1?1200x2?1000x3??850x11?1000x12?9000?44771212 ?x?2,x?3,x?1,x?2,x?3,x?4??j?????jjjjjj?1j?5j?5j?8j?8?j?1?x?1或0，j?1,,12?j最优解：x1＝x5=x12=0，其余xj=1,总收益Z=3870万元，实际完成投资额8920万元。
3.3 一辆货车的有效载重量是20吨，载货有效空间是8m×2m×1.5m。现有六件货物可供选择运输，每件货物的重量、体积及收入如表表3-10。另外，在货物4和5中优先运货物5，货物1和2不能混装，货物3和货物6要么都不装要么同时装。怎样安排货物运输使收入最大，建立数学模型。
表3-10
货 物 号 重量（T） 体积（m3） 收入（百元） 1 6 3 3 2 5 7 7 3 4 2 3 4 5 5 4 5 7 6 8 6 2 2 3 【解】设xj为装载第j件货物的状态，xj=1表示装载第j件货物，xj=0表示不装载第j件货物，有
maxZ?3x1?7x2?2x3?5x4?8x5?3x6?6x1?5x2?3x3?4x4?7x5?2x6?20?3x?7x?4x?5x?6x?2x?2423456?1??x4?x5?0??x1?x2?1?x3?x6?0???xj?0或1,j?1,2,,6
3.4 女子体操团体赛规定：（1）每个代表队由5名运动员组成，比赛项目是高低杠、平衡
木、鞍马及自由体操。（2）每个运动员最多只能参加3个项目并且每个项目只能参赛一次；（3）每个项目至少要有人参赛一次，并且总的参赛人次数等于10；（4）每个项目采用10分制记分，将10次比赛的得分求和，按其得分高低排名，分数越高成绩越好。已知代表队5名运动员各单项的预赛成绩如表3-11所示。
表3-11
甲 乙 丙 丁 戊
高低杠 平衡木 鞍马
自由体操
8.6 9.2 8.8 8.5 8.0
9.7 8.3 8.7 7.8 9.4
8.9 8.5 9.3 9.5 8.2
9.4 8.1 9.6 7.9 7.7
怎样安排运动员的参赛项目使团体总分最高，建立该问题的数学模型。
运筹学(第3版) 习题答案 43
【解】设xij（i=1，2，…，5；j＝1，2，3，4）为第i人参赛j项目的状态，即
?1xij???0第i人参赛j项目
第i人不参赛j项目54记第i人参赛j项目的成绩为Cij,，目标函数
maxZ???Cijxij
i?1j?1每个运动员最多只能参加3个项目并且每个项目只能参赛一次,约束条件：
xi1?xi2?xi3?xi4?3i?1,2,?,5 每个项目至少要有人参赛一次，并且总的参赛人次数等于10，约束条件：
x1j?x2j?x3j?x4j?x5j?1j?1,2,3,4
??xi?1j?154ij?10
数学模型为
maxZ???Cijxiji?1j?154?xi1?xi2?xi3?xi4?3i?1,2,,5?x?x?x?x?x?1j?1,2,3,4 2j3j4j5j?1j?54????xij?10?i?1j?1??xij?1或0,i?1,2,,5;j?1,2,3,43.5某电子系统由3种元件组成，为了使系统正常运转，每个元件都必须工作良好，如一个
或多个元件安装几个备用件将提高系统的可靠性，已知系统运转可靠性为各元件可靠性的乘积，而每一元件的可靠性是备用件数量的函数，具体如表3－12所示。
表3－12 备用件数 0 1 2 3 4 元件可靠性 1 0.5 0.6 0.75 0.9 1.0 2 3 0.7 0.9 1.0 1.0 1.0 0.6 0.8 0.9 1.0 1.0 3种元件的价格分别为30、40和50元/件，重量分别为2、4和6kg/件。而全部备用件的费用预算限制为220元，重量限制为20kg，问每种元件各安装多少个备用件，使系统可靠性最大。试建立该问题的整数（非线性）规划数学模型。
【解】设x1、x2、x3分别为元件1、2、3的备件数，由可靠性知x2?3、x3?2
设y1、y2、y3、y4、y5为元件1备件数的状态变量，yi?1（备件数为j件，j＝0，1?，
运筹学(第3版) 习题答案 44
4）或yi?0（备件数为0件，i＝1，2，?，5）
设y6、y7、y8、y9为元件2备件数0、1、2、3件时的状态变量，yi?1或0（i＝6、7、8、9）
设y10、y11、y12为元件3备件数0、1、2件时的状态变量，yi?1或0（i＝10、11、12） 数学模型为：
maxz?(0.5y1?0.6y2?0.75y3?0.9y4?y5)?(0.6y6?0.8y7?0.9y8?y9)?(0.7y10?0.9y11?y12)?30x1?40x2?50x3?220?2x?4x?6x?2023?1?y1?y2?y3?y4?y5?1??y6?y7?y8?y9?1?y?y?y?1?101112 ?x?y?2y?3y?4y2345?1?x2?y7?2y8?3y9??x3?y11?2y12?x、x、x?0并且为整数?123??yi?1或0，i?1,2,,12
注意：如果去掉第6、7、8个约束，因目标函数中没有x，则x与y之间就没有逻辑关系。
3.6利用0－1变量对下列各题分别表示成一般线性约束条件
（1）x1+2x2≤8、4x1+x2≥10及2x1+6x2≤18 三个约束中至少两个满足 （2）若x1≥5，则x2≥10，否则x2≤8 （3）x1取值2，4，6，8中的一个
?x1?2x2?8?y1M?x1?5?yM??x?5?(1?y)M?x1?2y1?4y2?6y3?8y4?4x1?x2?10?y2M1???【解】(1)?2x1?6x2?18?y3M (2)?x?10?yM(3)?y1?y2?y3?y4?1?2?y?y?y?1?y?0或1，j?1,2,3,4?x?8?(1?y)M1222?j??
???y?0或1?yj?0或1，j?1,2,33.7考虑下列数学模型
minZ?f(x1)?g(x2)
其中
运筹学(第3版) 习题答案 45
?10?6x1,若x1?0?15?10x2,若x2?0 f(x1)??,g(x2)??若x1?0若x2?0?0,?0,满足约束条件
（1）x1≥8或x2≥6 （2）|x1－x2|=0，4或8
（3）x1+2x2≥20、2x1+x2≥20及x1+x2≥20 三个约束中至少一个满足 （4）x1≥0，x2≥0
将此问题归结为混合整数规划的数学模型。
minZ?10y1?6x1?15y2?10x2?x1?y1M;x2?y2M?x?8?yM3?1?x2?6?(1?y3)M??x1?x2?0y4?4y5?4y6?8y7?8y8【解】??y4?y5?y6?y7?y8?1??x1?2x2?20?y9M?2x1?x2?20?y10M??x1?x2?20?y11M?y?y?y?21011?911??x1?0,x2?0;yj?0或1，j?1,2,?，3.8用分枝定界法求解下列IP问题
条件（1）条件（2）条件（3）
条件（4）maxZ?x1?4x2minZ?x1?2x2?3x1?2x2?9?3x1?x2?10（1）? （2）?
2x?4x?85x?6x?30?1?122?x,x?0且为整数?x,x?0且为整数?12?12【解】(1)X=(4，0),Z=4 （双击打开PPT）
运筹学(第3版) 习题答案 46
习题3.8（1）maxZ?x1?4x2x24.53x1?2x2?9?3x1?2x2?9LP0:?2x?4x?8?12?x,x?0?122x1?4x2?82松弛问题LP0的最优解X=(2.5,0.75),Z0=5.5o34x1 (2) X(1)=(2,4)，X(2)＝(0，5)；Z=10 （双击打开PPT）
习题3.8（2）x210minZ?x1?2x23x1?x2?10LP0:?3x1?x2?10??5x1?6x2?30?x,x?0?125x1?6x2?305松弛问题LP0的最优解X=(2.31, 3.08),Z0=8.46o3.336x1 3.9用割平面法求解下列IP问题
maxZ?2x1?x2（1）?minZ?2x1?3x2?4x1?2x2?14?x1?2x2?9 （2）?
?2x1?x2?10?2x1?x2?10?x,x?0且为整数?x,x?0且为整数?12?12【解】(1) 加入松弛变量x3、x4，单纯形表如下：
运筹学(第3版) 习题答案 47
1 0 0 CB XB X2 X3 X4 0 X3 2 1 0 0 X4 1 0 1 C(j)-Z(j) 1 0 0 2 X1 1/2 1/4 0 0 X4 0 －1/2 1 C(j)-Z(j) 0 －1/2 0 X1行为来源行，割平面方程为：s1?2x2?x3??2，插入到最优表得到
C(j) CB XB 2 X1 0 X4 0 S1 C(j)-Z(j) 2 X1 0 X4 1 X2 C(j)-Z(j) 2 S1 0 X4 1 X2 C(j)-Z(j) 2 X1 1 0 0 0 1 0 0 0 4 0 2 0 1 X2 1/2 0 [－2] 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 X3 1/4 －1/2 －1 －1/2 0 －1/2 1/2 －1/2 0 －1/2 1/2 －1/2 0 X4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 S1 0 0 1 0 [1/4] 0 －1/2 0 1 0 0 0 C(j) 2 X1 4 2 2 1 0 0 b 14 10 0 7/2 3 －7 b 7/2 3 －2 －7 3 3 1 －7 12 3 7 －7 从表中看出，有两个最优解：X(1)=(3,1)，X(2)＝(0，7)；Z=7 (2) 加入松弛变量x3、x4，单纯形表如下： 3 0 0 b CB XB X2 X3 X4 0 X3 －2 1 0 －9 0 X4 －1 0 1 －10 C(j)-Z(j) 3 0 0 0 0 X3 [－3/2] 1 －1/2 －4 2 X1 1/2 0 －1/2 5 C(j)-Z(j) 2 0 1 －10 3 X2 1 －2/3 1/3 8/3 2 X1 0 1/3 －2/3 11/3 C(j)-Z(j) 0 4/3 1/3 －46/3 以X1行为来源行，割平面方程为：s2?x3?x4??2，插入到最优表得到
C(j) CB 3 2 0 XB X2 X1 S2 2 X1 0 1 0 3 X2 1 0 0 0 X3 －2/3 1/3 －1 0 X4 1/3 －2/3 [－1] 0 S2 0 0 1 b 8/3 11/3 －2 C(j) 2 X1 －1 [－2] 2 0 1 0 0 1 0 运筹学(第3版) 习题答案 48
C(j)-Z(j) 3 X2 2 X1 0 X4 C(j)-Z(j) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 4/3 －1 1 1 1 1/3 0 0 1 0 0 1/3 －2/3 －1 1/3 －46/3 2 5 2 －16 最优解X=(5,2)；最优值Z=16
3.10用隐枚举法求解下列BIP问题
??x1?x2?4x3?2x4?5?5x1?2x2?x3?6?（1）? （2）?3x1?x2?2x3?2x4?4??4x1?2x2?3x3?8?x1?3x2?2x3?x4?9?x?0或1，j?1,2,3?j?xj?0或1，j?1,2,3,4?【解】(1)X=(1,0，1),Z=8 (2)X=(1,0,1,0),Z=9
3.11思考与简答题 （1）“整数规划的最优解是求其松弛问题最优解后取整得到”为什么不对。 （2）解释“分支”与“定界”的含义。 （3）简述分支定界法的基本步骤。
（4）高莫雷方程是怎样得到的，在割平面法中起到什么作用。
（5）割平面法计算过程中，什么时候可以去掉单纯形表中一行和一列。
maxZ?4x1?3x2＋4x3minZ?4x1?2x2?5x3?3x4
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运筹学(第3版) 习题答案 49
第4章 目标规划
4.1 已知某实际问题的线性规划模型为
maxz?100x1?50x2
?10x1?16x2?200??11x1?3x2?25?x,x?0?12假定重新确定这个问题的目标为： Ｐ1：ｚ的值应不低于1900 Ｐ2：资源１必须全部利用
将此问题转换为目标规划问题，列出数学模型。 【解】数学模型为
??minZ?p1d1??p2(d2?d2)(资源1)(资源2)
?100x1?50x2?d1??d1??1900????10x1?16x2?d2?d2?200 ??11x1?3x2?25?x,d?,d??0,j?1,2?jjj??
4.2 工厂生产甲、乙两种产品，由Ａ、Ｂ二组人员来生产。Ａ组人员熟练工人比较多，工作效率高，成本也高；Ｂ组人员新手较多工作效率比较低，成本也较低。例如，A组只生产甲产品时每小时生产10件，成本是50元有关资料如表4.21所示。
表4.21 A组 B组 产品售价(元/件) 产品甲 效率(件/小时) 10 8 80 成本(元/件) 50 45 产品乙 效率(件/小时) 8 5 75 成本(元/件) 45 40 二组人员每天正常工作时间都是8小时，每周5天。一周内每组最多可以加班10小时，加班生产的产品每件增加成本5元。
工厂根据市场需求、利润及生产能力确定了下列目标顺序： P1：每周供应市场甲产品400件，乙产品300件 P2：每周利润指标不低于500元
P3：两组都尽可能少加班，如必须加班由Ａ组优先加班 建立此生产计划的数学模型。
【解】 解法一：设x1, x2分别为A组一周内正常时间生产产品甲、乙的产量，x3, x4分别为A组一周内加班时间生产产品甲、乙的产量；x5, x6分别为B组一周内正常时间生产产品甲、乙的产量，x7, x8分别为B组一周内加班时间生产产品甲、乙的产量。 总利润为
运筹学(第3版) 习题答案 50
80(x1?x3?x5?x7)?(50x1?55x3?45x5?50x7)?75(x2?x4?x6?x8)?(45x2?50x4?40x6?45x8)?30x1?30x2?25x3?25x4?35x5?35x6?30x7?30x8生产时间为
A组：0.1x1?0.125x2?0.1x3?0.125x4 B组：0.125x5?0.2x6?0.125x7?0.2x8 数学模型为：
－－minZ?p1(d1??d2)?p2d3?p3(d4??d5?)?p4(d6??2d7?)
?x1?x3?x5?x7?d1－?d1??400?－??x2?x4?x6?x8?d2?d2?300?30x?30x?25x?25x?35x?35x?30x?30x?d－?d??500234567833?1??? ?0.1x1?0.125x2?d4?d4?40????0.125x5?0.2x6?d5?d5?40?0.1x?0.125x?d??d??103466??0.125x7?0.2x8?d7??d7??10???x?0,d,d?0,i?1,2,,7;j?1,2,,8?jii?解法二：设x1, x2分别为A组一周内生产产品甲、乙的正常时间，x3, x4分别为A组一周内
生产产品甲、乙的加班时间；x5, x6分别为B组一周内生产产品甲、乙的正常时间，x7, x8分别为B组一周内生产产品甲、乙的加班时间。
总利润为
10x1?80?50??8x2(75?45)?10x3?80?55??8x4(75?50)?8x5(80?45)?5x6(75?40)?8x7(80?50)?5x8(75?45)?300x1?240x2?250x3?200x4?280x5?175x6?240x7?150x8数学模型为
minz?p1(d1??d2?)?p2d3??p3(d4??d5?)?p4(d6??2d7?)?10x1?10x3?8x5?8x7?d1??d1??400???8x?8x?5x?5x?d?d?246822?300?300x?240x?250x?200x?280x?175x?240x?150x?d??d??5001234567833?????x1?x2?d4?d4?40???x?x?d?d?405655??x?x?d??d??1066?34?x7?x8?d7??d7??10???x?0,d,d,7;j?1,2,,8?ii?0,i?1,2,?j
4.3【解】设xij为Ai到Bj的运量，数学模型为