当m=﹣2k时，y=kx﹣2k=k（x﹣2），直线l过定点（2，0）． 由右顶点为A（2，0），则直线l过定点（2，0）不符合题意， 当直线的斜率不存在时，也成立．

根据以上可得：直线l过定点，且为（，0）．

21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）（其中a＞0，e是自然对数的底数）． （Ⅰ）若关于x的方程f（x）=x﹣x+a有唯一实根，求（1+lna）a的值； （Ⅱ）若过原点作曲线y=f（x）的切线l与直线y=﹣ex+1垂直，证明：

x

2

2

＜a＜；

（Ⅲ）设g（x）=f（x+1）+e，当x≥0时，g（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（Ⅰ）设h（x）=lnx﹣x﹣（a﹣）x，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值=﹣lna+

﹣1=0；从而求出代数式的值；

2

（Ⅱ）求出切线l的方程，得到a═的单调性证明即可；

﹣，且lnx1﹣1+﹣=0，令m（x）=lnx﹣1+﹣，根据函数

（Ⅲ）先求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性从而得到答案．

2【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣x+a，

∴lnx﹣x﹣（a﹣）x=0，

2

设h（x）=lnx﹣x﹣（a﹣）x，则h′（x）=﹣

2

，

a＞0时，h（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减， 则h（x）max=h（）=﹣lna+∵h（x）=0有唯一实根， ∴x0=且h（x）max=h（）=﹣lna+

2

﹣1，

﹣1=0；

故1+lna=，∴（1+lna）a=；

（Ⅱ）证明：∵过原点所作曲线y=f（x）的切线l与直线y=﹣ex+1垂直， ∴切线l的斜率为k=，方程是y=x， 设l与y=f（x）的切点为（x1，y1），

∴，

∴a=﹣，且lnx1﹣1+﹣=0，

令m（x）=lnx﹣1+﹣，则m′（x）=﹣+，

∴m（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，

若x1∈（0，1），∵m（）=﹣2+e﹣＞0，m（1）=﹣＜0， ∴x1∈（，1）， 而a=

﹣在x1∈（，1）递减，

∴＜a＜，

若x1∈（1，+∞），∵m（x）在（1，+∞）递增，且m（e）=0，则x1=e， ∴a=

﹣=0（舍），

综上：＜a＜；

x

x

（Ⅲ）∵g（x）=f（x+1）+e=ln（x+1）﹣ax+e， ∴g′（x）=

﹣a+e，g″（x）=

x

≥0，

①0＜a≤2时，∵g′（x）在[0，+∞）递增， ∴g′（x）≥g′（0）=2﹣a≥0，

∴g（x）在[0，+∞）递增，g（x）≥g（0）=1恒成立，符合题意， ②a＞2时，∵g′（x）在[0，+∞）递增，g′（0）=2﹣a＜0， 则存在x0（0，+∞），使得g′（x0）=0，

∴g（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增， 又x∈（0，x0）时，g（x）＜g（0）=1， ∴g（x）≥1不恒成立，不合题意， 综上，所求实数a的范围是（0，2]．