ξ P
0
1
2
3
（ 3）一年中每天空气质量达到一级的概率为， 由η～B，
得到Eη=180×=72（天），
∴一年中空气质量达到一级的天数为72天．
18．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求C的值；
（2）若D是AB上的点，已知cos∠BCD=【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，令sinA=sin（B+C），展开化简即可得出tanC； （2）使用余弦定理求出c，得出cosB，sinB，则sin∠BDC=sin（∠BCD+∠B）． 【解答】解：（1）∵∴即∴
sinA=
a=
ccosB+bsinC，
，a=2，b=3，求sin∠BDC的值．
a=
ccosB+bsinC．
sinCcosB+sinBsinC，
sinCcosB+sinBsinC，
sin（B+C）=
sinBcosC=sinBsinC，
． ．
2
2
2
∴tanC=∴C=
（2）在△ABC中由余弦定理得c=a+b﹣2abcosC=4+9﹣12cosC=7， ∴c=
．
=
=
．
=
．
=
．
=
．
由余弦定理得cosB=∴sinB=∵cos∠BCD=
，∴sin∠BCD=
∴sin∠BDC=sin（∠BCD+∠B）=sin∠BCDcosB+cos∠BCDsinB=
19．如图，在空间多面体ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥DC，AD⊥CD，△ADE是正三角形，CD=DE=2AB，CE=
CD．
（I）求证：平面CDE⊥平面ADE； （Ⅱ）求二面角C﹣BE﹣A的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（I）根据面面垂直的判定定理即可证明平面CDE⊥平面ADE；
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角C﹣BE﹣A的余弦值．
【解答】证明：（I）∵CD=DE=2AB，CE=∴设CD=DE=2AB=2，则AB=1， 则CE=2
2
2
CD．
，
）=CE，
2
2
∵CD+DE=4+4=8=（2
∴△CDE是直角三角形， 则CD⊥DE，
∵AD⊥CD，AD∩DE=D， ∴CD⊥平面ADE； ∵CD?平面CDE， ∴平面CDE⊥平面ADE；
（Ⅱ）建立以D为坐标原点，DC，DE分别为x，y轴，过D作垂直平面CDE的直线为y轴的空间直角坐标系如图：
则D（0，0，0），C（2，0，0），E（0，2，0），A（0，1，则平面CBE的法向量为=（x，y，z）， =（﹣1，1，﹣则
，得
），
=（﹣2，2，0），
，即
，
），B（1，1，
），
则平面CBE的法向量为=（1，1，0）， 设平面BEA的法向量为=（x，y，z）， 则则
=（1，0，0），
得
，
，x=0，即=（0，
=
，1），
=
令z=1，则y=
则cos＜，＞=
即二面角C﹣BE﹣A的余弦值是=．
20．已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）过点P（1，），其离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的右顶点为A，直线l交C于两点M、N（异于点A），若D在MN上，且AD⊥MN，|AD|=|MD||ND|，证明直线l过定点． 【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点P满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
2
（Ⅱ）运用三角形的相似的判定和性质定理，可得∠MAN=90°，联立方程组
2
2
2
，设M（x1，y1）
N（x2，y2），A（2，0），可得（3+4k）x+8km+4m﹣12=0，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，得到，7m+16km+4k=0，7m=﹣2k，m=﹣2k，代入求解即可得出定点． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==， 又a﹣b=c， 且
+
=1，
， +
=1；
2
2
2
2
2
2
解得a=2，c=1，b=可得椭圆的方程为
（Ⅱ）证明：由AD⊥MN，|AD|=|MD||ND|， 可得Rt△ADM∽Rt△DNA，
即有∠DNA=∠MAD，即∠MAN=90°， 由
2
2
，M（x1，y1）N（x2，y2），A（2，0），
2
可得（3+4k）x+8km+4m﹣12=0， x1+x2=﹣
2
2
，x1x2=，△=（8km）﹣4（3+4k）（4m﹣12）＞0，
222
即4k＞m﹣3， 由AM⊥AN，可得
?
=﹣1，
即为（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+m）（kx2+m）=0， 即（k+1）x1x2+（mk﹣2）（x1+x2）+m+4=0， 即有（k+1）?
2
2
22
2
+（mk﹣2）（﹣）+m+4=0，
2
化简可得7m+16km+4k=0，
m=﹣k或m=﹣2k，满足判别式大于0， 当m=﹣k时，y=kx+m=k（x﹣）（k≠0）， 直线l过定点（，0）；