?4a－2b＋c＝0，?a＝－1，??
∴?a＋b＋c＝0，解得?b＝－1， ???c＝2.?c＝2.
∴抛物线解析式为y＝－x2－x＋2. (2)根据(1)，抛物线对称轴为 －1b1
x＝－＝－＝－，
2a22×（－1）
11313×(－)＋1＝，∴点P的坐标为(－，)． 22424过点P作PQ⊥x轴于点Q，则PQ∥y轴， ∴∠POC＝∠OPQ.
1
222
∵tan∠OPQ＝＝，∴tan∠POC＝.
3334
(3)∵点M在x轴上，且△ABM与△APD相似， ∴点M必在点A的右侧， AP＝1335
[－2－（－）]2＋（0－）2＝，
244
AB＝22＋12＝5，AD＝1－(－2)＝1＋2＝3. ∵∠A＝∠A，
∴①AP和AB是对应边时，
354APAD3
＝，即＝，解得AM＝4. ABAM5AM
设点M坐标为(x，0)，则x－(－2)＝4，解得x＝2. ∴点M的坐标为(2，0)； ②AP和AM是对应边时，
354APAD35
＝，即＝，解得AM＝. AMABAM455设点M坐标为(x，0)，则x－(－2)＝，
43
解得x＝－. 4
3
∴点M的坐标为(－，0)．
4
3
综上所述，当点M(2，0)或(－，0)时，△ABM与△APD相似．
4
3
13．(2016·大邑县一诊改编)如图，二次函数y＝－ax2－4ax－的图象c交x轴于A，B两点(A在B的左侧)，过点
41
A的直线y＝kx＋3k(k＜－)交c于另一点C(x1，y1)，交y轴于点M.
4(1)求点A的坐标，并求二次函数的解析式；
(2)过点B作BD⊥AC交AC于点D，若M(0，－33)且Q点是直线AC上的一个动点．求出当△DBQ与△AOM相似时点Q的坐标．
解：(1)设y＝0，即kx＋3k＝0，解得x＝－3. ∴A(－3，0)．
3
∵A(－3，0)在y＝－ax2－4ax－的图象上，
43
∴0＝－9a＋12a－，
41
解得a＝.
4
13
∴该二次函数的解析式为y＝－x2－x－. 44
OM
(2)在Rt△AOM中，OA＝3，OM＝33tan∠OAM＝＝3，∴∠OAM＝60°.
AO①如图1中，当Q在DA的延长线上时， ∠BQD＝30°，△BQD∽△AOM， 在Rt△ABD中，BD＝BAsin60°＝3. 在Rt△BQD中，BD＝BQsin30°＝3，
解得BQ＝23.
过点Q作QQ′⊥x轴于点Q′.
∵∠BAD＝60°＝∠BQA＋∠QBA，∠BQD＝30°，
∴∠QBQ′＝30°.
在Rt△BQQ′中，∵∠QBQ′＝30°，BQ＝23， ∴QQ′＝3，BQ′＝3. ∴Q(－4，3)；
②当点Q与点A重合时，∠BQD＝60°，△DQB∽△OAM，此时点Q(－3，0)； ③如图2中，当点Q在线段DC上时，∠BQD＝60°，△DQB∽△OAM， 在△AQB中，∠BAQ＝∠AQB＝60°，得BQ＝AB＝2.
∴Q(－2，－3)；
④如图3中，当∠BQD＝30°时，△DQB∽△OMA，此时BQ∥OM. 设Q(－1，y)在直线y＝－3x－33上，解得y＝－23. ∴Q(－1，－23)．
综上所述，Q(－4，3)或Q(－3，0)或Q(－2，－3)或Q(－1，－23)．
14．(2016·攀枝花)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，点B坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，－3)．
的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．
???9＋3b＋c＝0，?b＝－2，
解：(1)把B，C两点坐标代入抛物线解析式，得?解得?
??c＝－3.c＝－3.??
∴抛物线解析式为y＝x2－2x－3.
(2)连接BC，过点P作y轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H. 在y＝x2－2x－3中，令y＝0，则0＝x2－2x－3，解得x＝－1或x＝3. ∴A点坐标为(－1，0)．
∴AB＝3－(－1)＝4，且OC＝3. 11
∴S△ABC＝AB·OC＝×4×3＝6.
22∵B(3，0)，C(0，－3)，
∴直线BC解析式为y＝x－3.
设P点坐标为(x，x2－2x－3)，则M点坐标为(x，x－3)． ∵P点在第四象限，
∴PM＝x－3－(x2－2x－3)＝－x2＋3x.
11113
∴S△PBC＝PM·OH＋PM·HB＝PM·(OH＋HB)＝PM·OB＝PM.
22222∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大． 39
∵PM＝－x2＋3x＝－(x－)2＋，
24
393927
∴当x＝时，PMmax＝，则S△PBC＝×＝.
24248
3152775
此时P点坐标为(，－)，S四边形ABPC＝S△ABC＋S△PBC＝6＋＝.
248831575
即当P点坐标为(，－)时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为. 248(3)设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，则∠AGP＝∠GNC＋∠GCN.
当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB＝∠CGB. 又∵∠AGB＋∠CGB＝180°， ∴∠AGB＝∠CGB＝90°. ∴∠ACO＝∠OBN.
在△AOC和△NOB中，
?∠AOC＝∠NOB，
?OC＝OB，
?∠ACO＝∠NBO，
∴△AOC≌△NOB(ASA)． ∴ON＝OA＝1.
∴N点坐标为(0，－1)． 设直线m解析式为y＝kx＋d.
??3k＋d＝0，
把B，N两点坐标代入，得?
??d＝－1.
1??k＝3，1
解得?∴直线m解析式为y＝x－1.
3
??d＝－1.1
故存在满足条件的直线m，其解析式为y＝x－1.
3
拓展类型 其他问题
1．(2016·巴中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2＋4mx－5m(m＜0)与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，该抛物线的对称轴与直线y＝
33
x相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线y＝x上(不与原点重合)，连33
接PD，过点P作PF⊥PD交y轴于点F，连接DF.
(1)如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为63，求抛物线的解析式；
(2)求A，B两点的坐标；
(3)如图②所示，小红在探究点P的位置时发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线y＝
3
x上任意一点P(不与原点重合)，∠PDF的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由． 3
解：(1)∵y＝mx2＋4mx－5m， ∴y＝m(x2＋4x－5)＝m(x＋5)(x－1)． 令y＝0，则m(x＋5)(x－1)＝0. ∵m≠0，∴x＝－5或x＝1. ∴A(－5，0)，B(1，0)．
∴抛物线的对称轴为x＝－2.
∵抛物线的顶点坐标为(－2，63)， 23∴－9m＝63，即m＝－. 3∴抛物线的解析式为y＝－
23283103
x－x＋. 333
3
x， 3
(2)由(1)可知：A(－5，0)，B(1，0)． (3)如图所示，∵OP的解析式为y＝
∴∠AOP＝30°.∴∠PBF＝60°.
∵PD⊥PF，FO⊥OD，∴∠DPF＝∠FOD＝90°. ∴∠DPF＋∠FOD＝180°.∴点O，D，P，F共圆．
∴∠PDF＝∠PBF.∴∠PDF＝60°.
2．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D，与y轴交于点C，直线CD的解析式为y＝3x＋23. (1)求b，c的值；
(2)过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，直线DE交x轴于点F，且F(4，0)，求抛物线的解析式；