2017年四川中考突破复习题型专项(十二)二次函数与几何图形 下载本文

??y=kx+2,

(2)联立?得x2+(k-2)x-1=0. 2

??y=-x+2x+3

∴x1+x2=-(k-2),x1x2=-1,

∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(k-2)2+4.

∴当k=2时,(x1-x2)2的最小值为4,即|x1-x2|的最小值为2.

?x1+x2=0,?∴?解得x1=-1,x2=1,则y1=0,y2=4. ?x1x2=-1.?

∴当|x1-x2|最小时,抛物线与直线的交点为M(-1,0),N(1,4). (3)由(1)得O(0,0),B(3,0),P(1,4),C(0,3). ∵L=OB+BP+PC+CO,

又∵线段OB平移过程中,OB,PC的长度不变, ∴要使L最小,只需BP+CO最短.

如图,平移线段OC到BC′,四边形OBC′C是矩形.∴C′(3,3).

作点P关于x轴(或OB)的对称点P′(1,-4),连接C′P′与x轴交于点B′. 设C′P′解析式为y=ax+n.

??a+n=-4,∴? ?3a+n=3.?

?a=2,解得?

15

?n=-2.715∴y=x-.

22

1515

当y=0时,x=,∴B′(,0).

77

1566

又3-=,故点B向左平移个单位,平移到B′.

77766

同时,点O向左平移个单位,平移到O′(-,0),

776

即线段OB向左平移个单位时,周长L最短.

7

此时,线段BP,CO之和最短为P′C′=72+22=53,O′B′=OB=3,CP=2. 6615

∴当线段OB向左平移个单位,即点O平移到O′(-,0),点B平移到B′(,0)时,周长L最短为53+2+3.

777

7

类型3 探究特殊三角形的存在性问题

6.如图,已知抛物线E1:y=x2经过点A(1,m),以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2),点A,B关于y轴的对称点分别为点A′,B′.

(1)求m的值;

(2)求抛物线E2的函数解析式;

(3)在第一象限内,抛物线E1上是否存在点Q,使得以点Q,B,B′为顶点的三角形为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)∵抛物线E1经过点A(1,m),∴m=12=1.

(2)∵抛物线E2的顶点在原点,可设它对应的函数解析式为y=ax2(a≠0), 又∵点B(2,2)在抛物线E2上, 1

∴2=a×22.解得a=.

2

1

∴抛物线E2的函数解析式为y=x2.

2

(3)假设在抛物线E1上存在点Q,使得以点Q,B,B′为顶点的三角形为直角三角形.

①当点B为直角顶点时,过点B作Q1B⊥BB′交抛物线E1于点Q1,则点Q1与B的横坐标相等且为2. 将x=2代入y=x2,得y=4. ∴点Q1(2,4);

②当点Q2为直角顶点时,则有Q2B′2+Q2B2=B′B2,过点Q2作Q2G⊥BB′于点G.

设点Q2的坐标为(t,t2)(t>0),则有(t+2)2+(t2-2)2+(2-t)2+(t2-2)2=42,整理得t4-3t2=0.

∵t>0,∴t2-3=0,解得t1=3,t2=-3(舍去). ∴点Q2(3,3).

综上所述,存在符合条件的点Q坐标为(2,4)与(3,3).

7.(2016·雅安中学二诊)如图,已知抛物线与y轴交于点C(0,4),与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,其中x1,x2为方程x2-2x-8=0的两个根. (1)求该抛物线的解析式;

(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ,设Q(x,0),△CQE的面积为y,求y关于x的函数关系式及△CQE的面积的最大值;

(3)点M的坐标为(2,0),问:在直线AC上,是否存在点F,使得△OMF是等腰三角形?若存在,请求出点F的坐标,若不存在,请说明理由.

解:(1)解方程x-2x-8=0,得x1=4,x2=-2. ∴A(4,0),B(-2,0). 设抛物线解析式为

2

y=a(x-4)(x+2). 将C(0,4)代入, 1

解得a=-. 2

1

∴抛物线解析式为y=-x2+x+4.

2

(2)由Q(x,0),可得BQ=x+2,AQ=4-x, 过点E作EH⊥AB于点H. ∴EH∥CO.∴

EHBE=. COBC

BEBQEHBQ

又∵QE∥AC,∴=.∴=. BCBACOBA∴

EHx+22=,即EH=(x+2). 463

112∵S△CQE=S△CBQ-S△EBQ=(x+2)·4-(x+2)·(x+2),

223

1281

∴y关于x的函数关系式为y=-x2+x+=-(x-1)2+3(-2<x<4).

3333∴△CQE的面积的最大值为3.

(3)存在点F使得△OMF是等腰三角形. 设AC的解析式为y=kx+b.

∵直线AC过点A(4,0)和C(0,4),

???4k+b=0,?k=-1,∴?解得? ??b=4.b=4.??

∴直线AC的解析式为y=-x+4. ∵点F在AC上,设F(x,-x+4), ∴OF=x2+(-x+4)2,

MF=(x-2)2+(-x+4)2,OM=2.

若△OMF是等腰三角形,则可能有三种情况:

①如图1,当OF=FM时,F的横坐标应为1,∴F(1,3); ②当OM=OF=2时,x2+(-x+4)2=2, 化简得x2-4x+6=0.

∵Δ=-8<0∴这种情况不存在;

③如图2,当OM=MF时,(x-2)2+(-x+4)2=4, 化简得x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4(舍去). ∴F(2,2).

综上所述,当△OMF是等腰三角形时,F(1,3)或(2,2).

8.(2016·凉山模拟)如图,已知正方形OABC的边长为2,顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,点E是BC的中点,F是AB延长线上一点且FB=1.

(1)求经过点O,A,E三点的抛物线解析式;

(2)点P在抛物线上运动,当点P运动到什么位置时△OAP的面积为2,请求出点P的坐标;

(3)在抛物线上是否存在一点Q,使△AFQ是等腰直角三角形?若存在直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)点A的坐标是(2,0),点E的坐标是(1,2). 设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,根据题意,得

?c=0,?

?4a+2b+c=0, ??a+b+c=2.?a=-2,

?

解得?b=4,

??c=0.

∴抛物线的解析式是y=-2x2+4x.

(2)当△OAP的面积是2时,点P的纵坐标是2或-2. 当-2x2+4x=2时,解得x=1, ∴点P的坐标是(1,2);

当-2x2+4x=-2时,解得x=1±2,

此时点P的坐标是(1+2,-2)或(1-2,-2).

综上,点P的坐标为(1,2),(1+2,-2)或(1-2,-2). (3)∵AF=AB+BF=2+1=3,OA=2.

则点A是直角顶点时,Q不可能在抛物线上; 当点F是直角顶点时,Q不可能在抛物线上;

131313

当点Q是直角顶点时,Q到AF的距离是AF=,若点Q存在,则Q的坐标是(,).将Q(,)代入抛物线解析

222222式成立.